递归和迭代
这两个概念也许很多童鞋依旧分不清楚，下面通过求解斐波那契数来看看它们俩的关系吧。
斐波那契数的定义：
f0=0
f1=1
fi=fi?1+fi?2(i>1)
递归：
(factorial 6)
(* 6 (factorial 5))
(* 6 (* 5 (factorial 4)))
(* 6 (* 5 (* 4 (factorial 3))))
(* 6 (* 5 (* 4 (* 3 (factorial 2)))))
(* 6 (* 5 (* 4 (* 3 (2 (factorial 1))))))
(* 6 (* 5 (* 4 (* 3 (* 2 1)))))
(* 6 (* 5 (* 4 （* 3 2))))
(* 6 (* 5 (* 4 6)))
(* 6 (* 5 24))
(* 6 120)
720迭代：
(factorial 6)
(factorial 1 1 6)
(factorial 1 2 6)
(factorial 2 3 6)
(factorial 6 4 6)
(factorial 24 5 6)
(factorial 120 6 6)
(factorial 720 7 6)
720递归的核心在于：不断地回到起点。
迭代的核心在于：不断地更新参数。
在下面的代码中：
递归的核心是sum的运算，sum不断的累乘，虽然运算的数值不同，但形式和意义一样。
而迭代的核心是product和counter的不断更新。如上表中，product就是factorial的前2个参数不断的累乘更新成第一个参数；而第二个参数则是counter，其不断的加1来更新自己。
product <- counter * product
counter < - counter + 1#include <iostream>
using namespace std;
int factorialRecursive(int n);
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count);
int main()
{
int n;
cout<<"Enter an integer:"<<endl;
cin>>n;
cout<<factorialRecursive(n)<<endl;
cout<<factorialIteration(1,1,n)<<endl;
return 0;
}
int factorialRecursive(int n)
{
int sum=1;
if(n==1)
sum*=1;
else
sum=n*factorialRecursive(n-1);
return sum;
}
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
if(counter>max_count)
sum*=product;
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}补充问题：
关于上面的factorialIteration函数，今天收到一份邮件，我也通过再次分析学到了很多，这里罗列一下。
第一个问题：
首先来看相对简单的问题，该童鞋在函数内以两种不同方式加上another_sum=2却有着不同的结果。
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
int another_sum=2;
if(counter>max_count)
{
sum*=product;
another_sum*=product;
}
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
int another_sum=2;
if(counter>max_count)
{
another_sum*=product;
sum*=product;
}
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}因为这个函数声明的是int型的返回类型，但没有用return语句，所以C++自动将其运行的最后一行语句作为了返回语句。所以这两个函数类似于：
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
int another_sum=2;
if(counter>max_count)
{
sum*=product;
return another_sum*=product;
}
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
int another_sum=2;
if(counter>max_count)
{
another_sum*=product;
return sum*=product;
}
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}然而我在CodeBlocks中写的代码不用return是可以的，但在Visual Studio中却是会报错的。
有了这个发现，我原来的代码也可以这样来写：
#include <iostream>
using namespace std;
int factorialRecursive(int n);
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count);
int main()
{
int n;
cout<<"Enter an integer:"<<endl;
cin>>n;
cout<<factorialRecursive(n)<<endl;
cout<<factorialIteration(1,1,n)<<endl;
return 0;
}
int factorialRecursive(int n)
{
int sum=1;
if(n==1)
sum*=1;
else
sum=n*factorialRecursive(n-1);
// return sum; // 去掉这里的return语句
}
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
if(counter>max_count)
return sum*=product; // 在这里加上return语句
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}现在来看另一个问题：
#include <iostream>
using namespace std;
int test(int n);
int sum;
int main()
{
cout<<test(1)<<endl;
return 0;
}
int test(int n)
{
sum = 1;
sum += n;
if (sum < 5)
test(n+1);
}如果设sum为全局变量，那么会在test函数中每一次调用sum=1时都将sum重新赋值为1。整个程序最后输出为5。这个应该没有什么悬念吧？
如果设sum给test内的局部变量，则会在每一次执行int sum=1语句时都会创建一个新的sum对象，它的存放地址和之前的sum并不相同。然后整个程序最后输出意外的是4。
#include <iostream>
using namespace std;
int test(int n);
int main()
{
cout<<test(1)<<endl;
return 0;
}
int test(int n)
{
int sum = 1;
sum += n;
if (sum < 5)
return test(n+1);
// return sum; 此处有这一行代码命名为程序1，没有这行代码命名为程序2
}程序1的输出是5，程序2的输出是4。具体函数执行过程如下：
第一步，调用test(1)：
int sum=1
sum=2
return test(2)第二步，调用test(2)：
int sum=1
sum=3
return test(3)第三步，调用test(3)：
int sum=1
sum=4
return test(4)第四步，调用test(4)：
int sum=1
sum=5执行到第四步的时候，由于sum以及不比5小了，所以程序1没有进入if语句而是执行下一句return sum，所以输出为1。
而如果是程序2，也就是没有return sum语句，那么程序在执行完第四步后就会返回到第三步，最终调用(return) sum=4，输出4。
第三个问题：
该童鞋还提到了尾递归，这里我就来说说我的理解，如有问题欢迎大家直接评论或邮件给我。
上面代码中的递归函数factorialRecursive应该没问题的吧。
上面的代码我给其命名为迭代。
int factorialIteration(int product, int counter, int max_count)
{
int sum=1;
if(counter>max_count)
sum*=product;
else
factorialIteration((counter*product),(counter+1),max_count);
}通过在main函数中调用如下代码来执行该函数：
cout<<factorialIteration(1,1,n)<<endl;当然，也可以另外写一个函数如下：
int factorialIter(int n)
{
return factorialIteration(1,1,n);
}并通过在main函数中直接调用该函数来做计算：
cout<<factorialIter(n)<<endl;函数factorialIteration中的max_count我们称其为“循环不变量”，也就是对于整个运算过程而言这个变量是不变的。为了让大家更加印象深刻，将前面出现过的东西再来复制一遍：
(factorial 6)
(factorial 1 1 6)
(factorial 1 2 6)
(factorial 2 3 6)
(factorial 6 4 6)
(factorial 24 5 6)
(factorial 120 6 6)
(factorial 720 7 6)
720从第二行开始的factorial的第三个参数”6“就是循环不变量。
尾递归：
在计算机科学中，尾调用是一个作为过程最后一步的子例程调用执行。如果尾调用可能在以后的调用链中再调用这同一个子例程，那么这个子例程就被称为是尾递归，它是递归的一个特殊情况。尾递归非常有用，在实现中也容易处理。尾调用可以不通过在调用堆栈中添加新的栈帧而实现。
传统上，尾部调用消除是可选的。然而，在函数式编程语言中，尾调用消除往往由语言标准作为保障，这种保证允许使用递归，在特定情况下的尾递归，来代替循环。在这种情况下，尽管用它作为一种优化是不正确的（尽管它可能是习惯用法）。在尾递归中，当一个函数调用它自身这种特殊情况下，可能调用消除比传统的尾调用更加合适。
迭代：
迭代是一个重复过程，它的目的是接近既定的目标或结果。每次重复的过程也称为”迭代“，作为迭代的结果都将作为下一次迭代的起点。
迭代在计算中是指的计算机程序中的重复的语句块。它可以表示两个专业术语，同义重复，以及描述一种具有可变状态重复的具体形式。然后令人费解的是，它也可以表示通过显式重复结构的任何重复，而不管其可变性。
在第一个意义上，递归是迭代的一个例子，但通常用”递归“来标记，而不作为”迭代“的例子。
在第二个意义上，（更加狭义地）迭代描述了一种编程风格。这与一个有着更有声明性方法的递归有着鲜明的对比。
第三个意义上，使用while或for循环，以及使用map或fold的函数也被视为迭代。
（以上定义部分摘自英文维基百科）
关于递归和尾递归在函数式编程中的应用也可以看这里：【Scheme归纳】3 比较do, let, loop
下面我也列出了相关的Scheme语言的代码：
(define (factorial n)
(if (= n 1)
1
(* n (factorial (- n 1)))))(define (factorial n)
(fact-iter 1 1 n))
(define (fact-iter product counter max-count)
(if (> counter max-count)
product
(fact-iter (* counter product)
(+ counter 1)
max-counter)))以上分别是递归和迭代的阶层，下面是Common Lisp语言版的斐波那契数求法：
(defun fib (n)
(fib-iter 1 0 n))
(defun fib-iter (a b count)
(if (= count 0)
b
(fib-iter (+ a b) a (- count 1))))借助递归树求解递归式
前面我们已经看到了递归式，也看到了递归树，那么如何借助递归树来求解递归式呢？接下来就来看看吧。
在递归树中，每个结点都表示一个单一问题的代价，子问题对应某次递归函数调用。
通过对树中每层的代价进行求和，就可以得到每层的代价；然后将所有层的代价求和，就可以得要到所有层次的递归调用的总代价。
我们通常用递归树来得出一个较好的猜测结果，然后用代入法来证明猜测是否正确。但是通过递归树来得到结果时，不可避免的要忍受一些”不精确“，得在稍后才能验证猜测是否正确。
因为下面的示例图太难用键盘敲出来了，我就用了手写，希望大家不介意。
如下所示，有一个递归式，我们要借助它的递归树来求解最终的结果。前面所说的忍受“不精确”这里就有2点：
1）我们要关注的更应该是解的上界，因为我们知道舍入对求解递归式没有影响，因此可以将Θ(n2)写成cn2，且为该递归式创建了如下递归树。
2）我们还将n假定为2的幂，这样所有子问题的规模均为正数。
图a所示的是T(n)，在图b中则得到了一步扩展的机会。它是如何分裂的呢？递归式的系数为3，因此有3个子结点；n被分为2部分，因此每个结点的耗时为T(n/2)。图c所示的则是更加进一步的扩展，且直到最后的终点。
这棵树有多高（深）呢？
我们发现对于深度为i的结点，相应的规模为n/2i。因此当n/2i=1时，也就意味着等式i=log2n成立，此时子问题的规模为1。因此这个递归树有log2n+1层。那为什么不是log2n层呢？因为深度从0开始，也就是(0,1,2,...,log2n)。
有了深度还需要计算每一层的代价。其中每层的结点数都是上一层的3倍，因此深度为i的结点数为3i。而每一层的规模都是上一层的1/4，所以对于i=0,1,2,...,log4n?1，深度为i的每个结点的代价为c(n/2i)2。
因此对于i=0,1,2,...,log4n?1，深度为i的所有结点的总代价为(3i)?(c(n/2i)2)，也就是3ic(n/2i)2。
递归树的最底层深度为log2n，它有3log2n=nlog23个结点，每个结点的代价为T(1)，总代价就是nlog23T(1)，假定T(1)为常量，即为Θ(nlog23)。
至于这最后的4c为什么可以直接省略掉，如上一节所说的，渐近记号都包含了常量因子。因此猜测T(n)=Θ(n2)。在这个示例中，cn2的系数形成了一个递减几何级数。由于根结点对总代价的贡献为cn2，所以根结点的代价占总代价的一个常量比例，也就是说，根结点的代价支配了整棵树的总代价。
不知道大家看不看得清，上面的两行文字是“我们要证的是T(n)≤dn2对某个常量d>0成立，使用常量c>0“和”当d≥4c时，最后一步成立。
霍纳规则
在看如何求解1000的阶层之前，我们不妨先看看一个简单点的：霍纳规则。当然，您也可以停顿下来先自己琢磨琢磨。
一、背景
霍纳（Horner）规则是采用最少的乘法运算策略，来求多项式
A(x)=anxn+an?1xn?1+...+a1x+a0
在x0处的值。
该规则为
A(x0)=(...((anx0+an?1)x0+...+a1)x0+a0)
二、分析
如果光看着式子或许会有点烦躁，不妨手动设定几个值到式子中去来手工运算一番，这样一来也会有些亲身的理解。
通过分解我们注意到，从右往左来看，每一个小式子都是如此：
something?x0+ai
三、代码
C语言版
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int hornerRule(int list[],int m,int x0);
int main()
{
int m,x0;
printf("Enter an integer (length of list): \n");
scanf("%d",&m);
int list[m];
printf("Enter some integers for list: \n");
int i;
for(i=m-1;i>=0;i--)
{
scanf("%d",&list[i]);
}
printf("Enter an integer for x0: \n");
scanf("%d",&x0);
printf("%d",hornerRule(list,m,x0));
return 0;
}
int hornerRule(int list[],int m,int x0)
{
if(m<=1)
return list[0];
else
return list[0]+(hornerRule(list+1,m-1,x0))*x0;
}C++语言版
#include <iostream>
using namespace std;
int hornerRule(int list[],int m,int x0);
int main()
{
int m,x0;
cout<<"Enter an integer (length of list):"<<endl;
cin>>m;
int list[m];
cout<<"Enter some integers for list:"<<endl;
for(int i=m-1;i>=0;i--)
{
cin>>list[i];
}
cout<<"Enter an integer for x0:"<<endl;
cin>>x0;
cout<<hornerRule(list,m,x0);
return 0;
}
int hornerRule(int list[],int m,int x0)
{
if(m<=1)
return list[0];
else
return list[0]+(hornerRule(list+1,m-1,x0))*x0;
}四、测试
五、进阶
（PS：博主有一段时间没有碰Scheme有点忘了，所以下面的代码可能有些……粗糙）
关于Scheme可以看这里：
(define (Horner list m x0)
(define (Horner-iter ls n)
(if (<= n 1)
(car ls)
(+ (car ls) (* (Horner-iter (cdr ls) (- n 1)) x0))))
(Horner-iter list m))
(define list ‘(1 2 1 0 3 1))
;Value: list
(Horner list 6 10)
;Value: 130121
如何求解10000的阶层
看到过一个蛮有意思的题，是问“100！”的尾数有多少个零。
尾数有多少个零，实际上指的是从这个数的最后一个不为0的数的下一个（也就是0）开始计数，一直到最后一个数（这些数自然都是0）有多少个0。
好吧，也就是说13330330000的尾数有4个零……
一个整数若含有因子5，则必然在求解100！时产生一个0，也就是说我们从5开始for循环，每次循环都给加上5，然后计数器加1。同时如果该整数还能被25整除，计数器还应该再加上1。（关于这段话的详细解释请看下文）
因此代码如下：
#include<stdio.h>
int main()
{
int a,count =0;
for(a=5;a<=100;a+=5)
{
++count;
if(!(a%25))
++count;
}
printf("100!的尾数有%d个零。\n",count);
return 0;
}题目后面进一步问了如何求出任意N！的尾数有多少个零。
#include<stdio.h>
int main()
{
int n;
printf("请输入N：\n");
scanf("%d",&n);
if(n<0)
printf("%d的阶层无意义。\n",n);
else if(n<=4)
printf("%d的阶层的尾数没有零。\n");
else
{
int a,count =0;
for(a=5;a<=n;a+=5)
{
++count;
if(!(a%25))
++count;
}
printf("100!的尾数有%d个零。\n",count);
}
return 0;
}本文就这样结束了吗？
题目的解答中有这么一段话：先求出100!的值，然后数一下末尾有多少个零。事实上，由于计算机所能表示的整数范围有限，这是不可能的。
首先，什么叫计算机所能表示的整数范围？应该叫int等数据类型的整数范围有限才对，计算机嘛……撑死了只能说不能存储而非不能表示。
另外100的阶层真的求不出来吗？请往下读。
我的博客中有大量关于Lisp，或者说Scheme的博文，使用这个语言，几行代码就能搞定了不是吗？欢迎阅读我的其他博文……
(define (fact n)
(if (= n 1)
1
(* n (fact (- n 1)))))
;Value: fact
1000的阶层也能求，截图为证……
闲得无聊，以下是10000的阶层，大家可以继续算更大的数，哈哈……
………………
我发现这个CSDN博客写上这么多数字之后博客没法提交，有异常……没办法，只能上传了……下载后觉得有意思记得回来点赞哦……
传送门：10000的阶层
有网友私信问我，为什么一个整数若含有因子5，则必然在求解100！时产生一个0。这里所说的一个整数，自然是在求100的阶层时需要计算的从1到100这些整数。我下列出一些等式：
1x2=2
2x3=6
6x4=24
24x5=120
120x6=720
720x7=5040
5040x8=40320
40320x9=362880
362880x10=3628800
3628800x11=39916800
3991680x12=479001600
47900160x13=6227020800
622702080x14=87178291200
8717829120x15=1307674368000
…… ……看到上式就会发现每次尾部增加0都是因为成了一个因子是5的整数。那么一直乘到100都会是这样吗？当然是。但这样就能证明？显然不能。
我们来看看各个整数的最后一个数：
如果是0的话，也就是说是乘以10或者20、30之类的，那么肯定会加上一个0。而且它也是5的倍数。
如果是1的话，无论乘以谁显然都不可能得到10。（这里的谁是指的的上面那些式子中的乘号左边的数的最后一个不为0的数。
如果是2的话，乘以5会得到10。
如果是4、6、8的话乘以5也会得到10。
如果是3、7、9的话就和1一样不会得到10。（得不到10也就无法增加一个0）
那么为什么是5而不是2、4、6、8呢？因为对于任何一个大于1的数的阶层而言，它的最后一个不为0的数必然是偶数。这又是为什么呢？因为最起码一开始就成了2，结果变成了偶数，而偶数乘以偶数为偶数，偶数乘奇数还是偶数…… 而2、4、6、8都必须和5相乘才可以得到10，以至于增加一个0。
那么5呢？5乘以任意一个偶数不都可以增加一个0吗，比如所10、20、30、40等等。
那么这个问题就得到了较为具体的解答。该网友还问了，为什么一个整数有25的因子，就需要计数再加1呢，很显然25是两个5的乘积呀。那么又为什么不考虑5的三次方也就是125呢？因为我们只乘到了100呀，100的阶层嘛。
如果不信我们就来验算一下呗……
#include<stdio.h>
int main()
{
int a,count =0;
for(a=5;a<=200;a+=5)
{
++count;
if(!(a%25))
{
++count;
if(!(a%125))
++count;
}
}
printf("200!的尾数有%d个零。\n",count);
return 0;
}
还有截图为证哦……
后来还看到一个题目，和这个也类似，需要求的是100的阶层的结果的数字中从左到右第一个四位的质数。
代码来源于网络以及别人的解答，感觉这里还是蛮巧妙地。
// C# Code
public static class Program
{
public static void Main(string[] args)
{
string fac100 = Factorial(100).ToString("F0");
Console.WriteLine("The factorial of 100 is : {0}", fac100);
for (int i = 0; i <= fac100.Length - 4; i++)
{
string substr = fac100.Substring(i, 4);
if (CheckPrime(Convert.ToInt32(substr)))
{
Console.WriteLine("The expected result found and it is : " + substr);
return;
}
}
Console.WriteLine("No result as expected!!");
}
public static double Factorial(int n)
{
double result = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
result *= i;
return result;
}
public static bool CheckPrime(int n)
{
if (n == 1 || n == 2)
return true;
int squareRoot = Convert.ToInt32(Math.Sqrt(n));
for (int i = squareRoot; i > 1; i--)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
}
}// C++ Code
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
double Factorial(int n)
{
double result = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
result *= i;
return result;
}
bool CheckPrime(long n)
{
if (n == 1 || n == 2)
return true;
long squareRoot = (long)sqrt(n);
for (long i = squareRoot; i > 1; i--)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
char buf[1024] = { ‘\0‘ };
sprintf_s(buf, "%.f", Factorial(100));
cout << "The factorial of 100 is : " << buf << endl;
char substr[5] = { ‘\0‘ };
for (int i = 0; i <= strlen(buf) - 4; i++)
{
memcpy(substr, buf + i, 4);
if (CheckPrime(atol(substr)))
{
cout << "The expected result found and it is : " << substr << endl;
return 0;
}
}
cout << "No result as expected!!";
return 0;
}
// C Code
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <stdbool.h>
double Factorial(int n)
{
double result = 1;
int i;
for (i = 1; i <= n; i++)
result *= i;
return result;
}
bool CheckPrime(long n)
{
if (n == 1 || n == 2)
return true;
long squareRoot = (long)sqrt(n);
long i;
for (i = squareRoot; i > 1; i--)
if (n % i == 0)
return false;
return true;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
char buf[1024] = { ‘\0‘ };
sprintf(buf, "%.f", Factorial(100));
printf("The factorial of 100 is : %s\n",buf);
char substr[5] = { ‘\0‘ };
int i;
for (i = 0; i <= strlen(buf) - 4; i++)
{
memcpy(substr, buf + i, 4);
if (CheckPrime(atol(substr)))
{
printf("The expected result found and it is : %s\n",substr);
return 0;
}
}
printf("No result as expected!!\n");
return 0;
}欢迎大家点击左上角的“关注”或右上角的“收藏”方便以后阅读。
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