bzoj1019题解

【解题思路】

　　对于一个hanoi，知道了各种移动操作的优先级，也就确定了方案。可以证明对于盘子数为N的hanoi，任意移动方案都等价于将数目为N-1的一叠盘子移动k次，并将最小的一个盘子经过b次后移动到目标柱顶端。这样，hanoi的任一移动方案所需次数都满足线性递推式f[n]=k*f[n-1]+b。

　　因此我们暴力算出数列f的前几项（更确切地，前三项即可），然后递推即可。加上矩乘优化后理论复杂度O(log₂n)。

【参考程序】

（嗯，实际上N≤30根本不需要矩乘。。也懒得写。。）

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define range(i,c,o) for(register int i=(c);i<(o);++i)
 3 #define dange(i,c,o) for(register int i=(c);i>(o);--i)
 4 using namespace std;
 5
 6 static int N;
 7 long long f[35];
 8 string opt[6];
 9 stack<int> stick[3];
10
11 inline long long solve(const int&x)
12 {
13     long long ret=0; int las=3;
14     range(i,0,3) for(;!stick[i].empty();stick[i].pop());
15     dange(i,x,0) stick[0].push(i);
16     for(;stick[1].size()<x&&stick[2].size()<x;++ret)
17     {
18         range(i,0,6)
19         {
20             int fr=opt[i][0]-‘A‘,to=opt[i][1]-‘A‘;
21             if(
22                 fr!=las&&!stick[fr].empty()&&(
23                     stick[to].empty()||
24                     stick[fr].top()<stick[to].top()
25                 )
26             )
27             {
28                 stick[las=to].push(stick[fr].top());
29                 stick[fr].pop(); break;
30             }
31         }
32     }
33     return ret;
34 }
35
36 int main()
37 {
38     ios::sync_with_stdio(0);
39     cin>>N; range(i,0,6) cin>>opt[i];
40     f[1]=1,f[2]=solve(2),f[3]=solve(3);
41     long long k=(f[3]-f[2])/(f[2]-1),b=f[2]-k;
42     range(i,4,N+1) f[i]=k*f[i-1]+b;
43     return cout<<f[N]<<endl,0;
44 }