算法导论 动态规划 钢条切割问题的自底向上解法

正式应用动态规划。

适用于动态规划解决的问题应拥有以下两个要素：

1. 最优子结构（最佳选择）

2.子问题重叠（最终的最优解的每个分部步骤，都是当前最优的子解。与贪心算法试图通过局部最优解来组合成最优解的思想相似）

下面第一版代码中，依旧存在与上一篇第一版代码相同的问题——只能求解p数组中给出的最大限度。N>=10，代码就不能够求解出正确答案。（代码中你们都懂的- -卖个萌(O(∩_∩)O哈哈~）

主要用第一版代码记录思路。

共给出两个功能函数。 Max()和Bottom_Cut_Rod()，作为主副功能函数。

Max没有什么好说的

主函数Bottom_Cut_Rod()

通过创建辅助数组Arr，来记录当前N的最优解（最优子结构），从而使下次出现相同需求（即子问题重叠）时，可以从数组中直接定位调用。省去了朴素解法中的冗余和频繁的递归调用，减少了时间和内存空间的消耗。

Arr就是一种备忘机制。

双重的For循环保证了每种情况的出现，通过不断调用Max函数迭代q来作为更新。 当每种选择第一次完成后，通过辅助备忘数组Arr，来进行记录，以供下次出现子问题重叠情时使用。

下面是cpp实现，调试已通过。

#include <iostream>
using namespace std;

// 大小比较
int max(int a,int b)
{
    if(a>=b)return a;
    else return b;
}

//主要功能函数
int  Bottom_Cut_Rod(int *p,int n)
{
    int *arr;
    arr = new int [n+1]; //创建辅助数组，记录最优子结构
    arr[0]=0;
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
       int  q=-1;// 创建变量作为最优解的容器
        for(int i=1;i<=j;i++)
        {
            q=max(q,p[i]+arr[j-i]);//对q进行更新
        }
        arr[j]=q;//记录最优解
    }

    return arr[n];//返回指定长度钢条的最优解
}

int main()
{
    int p[]={1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
    int n;
    cout<<"Please input a int number"<<endl;
    cin>>n;
    int r=Bottom_Cut_Rod(p,n);
    cout<<r<<endl;

    return 0;
}