[AHOI2012]树屋阶梯 题解（卡特兰数）

[AHOI2012]树屋阶梯

Description

暑假期间，小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄，训练的第一个晚上，教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重，必须选择在高处的树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为N+1尺（N为正整数）的大树上，正当他发愁怎么爬上去的时候，发现旁边堆满了一些空心四方钢材（如图1.1），经过观察和测量，这些钢材截面的宽和高大小不一，但都是1尺的整数倍，教官命令队员们每人选取N个空心钢材来搭建一个总高度为N尺的阶梯来进入树屋，该阶梯每一步台阶的高度为1尺，宽度也为1尺。如果这些钢材有各种尺寸，且每种尺寸数量充足，那么小龙可以有多少种搭建方法？（注：为了避免夜里踏空，钢材空心的一面绝对不可以向上。）

Solution

1.我们发现对于任何大小为i的树屋阶梯，都可以由左上角放一块大小为j的以及右下角放一块大小为(i?j?1)的树屋阶梯，再在空缺的地方由单个大块的矩形填充即可构成，那么这个构成的树屋阶梯一共有 j+(i?j?1)+1个钢材，正好是i个。

2.因为j可以在 0 到 i?1取且可以证明每一个构成的树屋阶梯一定各不相同，所以我们可以得到树屋阶梯方案与大小关系的递推式c[n]=Σ(0≤k<n)c[k]*c[n-k-1]，边界条件为c[0]=c[1]=1;

3.我们发现这就是n对应的卡特兰数，输出n对应的卡特兰数就好，因为没有要求取模，考虑使用高精度；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int ans[100001]={},x=0;
void mul(int n){
    for(int i=1;i<=ans[0];++i){
        ans[i]=ans[i]*n+x;
        x=ans[i]/10;
        ans[i]%=10;
    }
    while(x>0){
        ans[0]++;
        ans[ans[0]]=x%10;
        x/=10;
    }
}
void div(int n){
    int q=0;
    for(int i=ans[0];i>=1;--i)
     {
        x=(ans[i]+q*10)%n;
        ans[i]=(ans[i]+q*10)/n;
        q=x;
     }
     while(ans[ans[0]]==0)ans[0]--;
}
int main(){
    ans[0]=ans[1]=1;
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=n+2;i<=(n<<1);++i)mul(i);
    for(int i=2;i<=n;++i) div(i);
    for(int i=ans[0];i>0;--i)printf("%d",ans[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

卡特兰数基础知识部分可以参考我的题解：http://www.cnblogs.com/COLIN-LIGHTNING/p/8450053.html

原文地址：https://www.cnblogs.com/COLIN-LIGHTNING/p/8481432.html