KMP是一种字符串匹配算法,它在时间复杂度上较暴力匹配算法由很大的优势。比如我要找字符串S中是否存在子串P,如果暴力匹配的话,则时间复杂度为O(n*m),而kmp算法时间复杂度为O(n+m)。
这里我们有一个辅助的数组next[](先别管怎么求出来的),next[i]含义是模式串P中[0....i-1]这一段的长度小于这段字符串的长度的最长公共前缀(比如ababa,公共前缀就是aba)。
好,那我们接下来讲一下kmp算法的具体操作:
假设,我们开始有字符串S:ababaaba 模式串P:abaa
对应next[i](0=<i<=len(P))的值为:
next[0]=-1 (无)
next[1]=0 (a)
next[2]=0 (ab)
next[3]=1 (aba)
next[4]=1 (abaa)
好,有了next数组,我们接下来进行匹配,设i=0是S上的当前匹配位置,j=0是P上的当前匹配位置。
第一次匹配,一直到i=3,j=3时匹配失败,令j=nxet[j]继续匹配。(为什么可以令j=next[j]?简单来说P[0...0]等于P[2...2],而通过第一次匹配,我们知道P[2..2]等于S[2...2],所以可以跳过这一段不用重复匹配,具体原理接下来解释)
第二次匹配,从i=3,j=1开始,匹配成功,获得答案。
大概过程就是这样。
下面按我自己的理解,解释一下kmp的原理:
如下图所示(图很丑,我真的不知道怎么画图),S[0...i]和P[0...i]匹配上了,匹配到i+1时匹配失败。
好,我们仔细分析一下,设L=nxet[i],则P[0...L]等于P[i-L...i],又因为通过刚才的匹配,我们确定了S[0...i]等于P[0...i],所以在S上也有一段对应的S[L-i...i]=P[L-i..i]=P[0...L]。
所以第二次匹配时,我们可以直接将P挪动,使P[0...L]对应S[L-i...i],直接从i+1开始匹配(即上文中的j=next[j]),如下图所示:
P[0...L]=S[L-i..i]可以理解,但是为什么可以直接挪过来呢,忽略了可能出现的情况怎么办?比如说下图这样的情况:
是否会有一段这样的字符串S[k..k+m]被我们忽略呢?若有的话,那显然k的位置更优因为i-k>L更有利于我们减少重复匹配。
实际上是不存在的,很容易知道,若存在一段长度大于L的S[k...i]=P[0...i-k+1]那么因为P[0...i]=S[0...i]肯定会有一段P[k..i]=S[k..i]=P[0..i-k+1],即P[0...i-k+1]和P[k..i]是一段公共前缀。
但是前面我们说了L=next[i]表示P[0...i]的最长公共前后缀,而上述的情况存在则说明有比L更长的公共前缀,这就矛盾了,所以S[k...k+m]这样的字符串是不存在的。
好了,这下kmp的原理我们知道了,接下来说next数组是如何构造的:
模板代码:
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 const int N=1e6+5; 7 8 int nxt[N]; 9 char s[N],t[N]; 10 11 //获得next数组 12 void getnext(char *s,int len){ 13 int i,j; 14 i=0,j=nxt[0]=-1; 15 len=strlen(s); 16 while(i<len){ 17 while(j!=-1&&s[i]!=s[j]) 18 j=nxt[j]; 19 i++,j++; 20 nxt[i]=j; 21 } 22 } 23 24 //返回第一次匹配成功的位置 25 int kmp(char *s,char *t){ 26 int i,j,len,len2; 27 len1=strlen(s); 28 len2=strlen(t); 29 getnext(t,len2); 30 i=j=0; 31 while(i<len){ 32 while(j!=-1&&s[i]!=t[j]) 33 j=nxt[j]; 34 i++,j++; 35 if(j==len2) 36 return i-len2+1; 37 } 38 return -1; 39 }
KMP常见题型:
一、字符串匹配,求出模式串P在S中是否存在,输出第一次出现的位置
二、求模式串P在S中的出现次数(注意分可重和不可重的情况)
三、求所有公共前后缀(既是前缀又是后缀)
四、求字符串循环节
五、求所有S的前缀在S中出现次数之和
六、最大最小表示
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