题目六、数塔取数问题

一个高度为N的由正整数组成的三角形，从上走到下，求经过的数字和的最大值。

每次只能走到下一层相邻的数上，例如从第3层的6向下走，只能走到第4层的2或9上。

5

8 4

3 6 9

7 2 9 5

例子中的最优方案是：5 + 8 + 6 + 9 = 28

Input

第1行：N，N为数塔的高度。(2 <= N <= 500)

第2 - N + 1行：每行包括1层数塔的数字，第2行1个数，第3行2个数......第k+1行k个数。数与数之间用空格分隔（0 <= A[i] <= 10^5) 。

Output

输出最大值

输入示例

4

5

8 4

3 6 9

7 2 9 5

7

7

8 4

3 6 9

7 2 9 5

12 33 4 5 66

23 4 344 55 33 12

23 23 44 90 78 77 99

输出示例

28

492

解题思路：

这题的解题思路第一个大概就是暴力了吧 =。=，先来讲讲暴力的思路。就开一个二维数组存储数字塔，我就从塔顶枚举每一条可能的路径，类似于二叉数，要枚举的路径在2^n级别，考虑n = 500的情况，大概也就10^150的数量级，真是妥妥的超时。

所以就要第二种方法，动态规划。在开一个储存数字塔的二维数组f的同时，也开启一个同样大小的数组dp[][],dp[i][j]表示第i行第j列的元素到底层的最短距离。dp[i][j] = max(dp[ i + 1 ][ j ] , dp[ i + 1 ][ j + 1] ) + f[ i ][ j ],f[i][j]为数字塔的具体元素。时间复杂度就从指数级降到了平方级。

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MAXN  510
using namespace std;
int f[MAXN][MAXN], dp[MAXN][MAXN];// 数字塔数组和dp数组
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {// 循环输入数字塔
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            scanf("%d", &f[i][j]);
        }
    }
    for (int j = 1; j <=n; j++) {
        dp[n][j] = f[n][j]; // dp数组最底层的元素和数组塔最底层的元素相同，自己到自己的数字之和当然是本身咯
    }
    for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + f[i][j]; //状态转移方程
        }
    }

    printf("%d\n", dp[1][1]); //dp[1][1]就是从顶层到底层的最大距离，即为所求
    return 0;
}