关于时间复杂度

对于时间复杂度，我一直搞不清楚是什么回事，或者说处于最简单的计算方式上：

常数阶O(1), 对数阶O(log2n), 线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n), 平方阶O(n^2)， 立方阶O(n^3)，...， k次方阶O(n^k), 指数阶O(2^n) 。

其中，

1.O(n)，O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k) 为多项式阶时间复杂度，分别称为一阶时间复杂度，二阶时间复杂度。。。。

2.O(2^n)，指数阶时间复杂度，该种不实用

3.对数阶O(log2n),   线性对数阶O(nlog2n)，除了常数阶以外，该种效率最高

例：算法：
  for（i=1;i<=n;++i）
  {
     for(j=1;j<=n;++j)
     {
         c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^2

          for(k=1;k<=n;++k)
               c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^3
     }
  }
  则有 T（n）= n^2+n^3，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n^3为T（n）的同数量级
  则有f（n）= n^3，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c
  则该算法的 时间复杂度：T(n) = O(n^3)

定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

几种时间复杂度的举例：O(1)Temp=i;i=j;j=temp;  以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n^2)
 交换i和j的内容     sum=0；                 （一次）     for(i=1;i<=n;i++)       （n次 ）        for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）         sum++；       （n^2次 ）解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

    for (i=1;i<n;i++)    {        y=y+1;         ①           for (j=0;j<=(2*n);j++)               x++;        ②          }         解：
 语句1的频度是n-1 语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1  f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2  该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).         

O(n)                                                              a=0;    b=1;                      ①    for (i=1;i<=n;i++) ②    {         s=a+b;　　　　③       b=a;　　　　　④         a=s;　　　　　⑤    }解：语句1的频度：2,               语句2的频度： n,              语句3的频度： n-1,               语句4的频度：n-1,           语句5的频度：n-1,                                    T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).                                                                                                 O(log2n )     i=1;       ①    while (i<=n)       i=i*2; ②解： 语句1的频度是1,          设语句2的频度是f(n),   则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n            取最大值f(n)= log2n,        T(n)=O(log2n )

O(n^3)    for(i=0;i<n;i++)    {         for(j=0;j<i;j++)         {          for(k=0;k<j;k++)             x=x+2;         }    }解：当i=m,
 j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).

下面是一些常用的记法：访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp比较两个具有n个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n对元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n个元 素的集合共有2n个子集,所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。