行列式的本质是什么？

作者：童哲
链接：https://www.zhihu.com/question/36966326/answer/70687817
来源：知乎

行列式这个“怪物”定义初看很奇怪，一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧，但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的，理解只需要三步。这酸爽~

1，行列式 $det(A)$ 是针对一个 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 而言的。 $A$ 表示一个 $n$ 维空间到 $n$ 维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个 $n$ 维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成 $n$ 维空间中的一个新立方体。

2，原来立方体有一个体积 $V_{1}$ ，新的立方体也有一个体积 $V_{2}$ 。

3，行列式 $det(A)$ 是一个数对不对？这个数其实就是 $V_{2}$ $\div$ $V_{1}$ ，结束了。

就这么简单？没错，就这么简单。

所以说：行列式的本质就是一句话：

行列式就是线性变换的放大率！

理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质：

$det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)$

道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！

你先进行一个 $A$ 变换，再进行一个 $B$ 变换，放大两次的放大率，就是式子左边。
你把“先进行 $A$ 变换，再进行 $B$ 变换”定义作一个新的变换，叫做“ $BA$ ”，新变换的放大律就是式子右边。

然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了。这就好像：

“ 你经过股票投资，把1块钱放大3被变成了3块钱，然后经过实业投资，把3块钱中的每一块钱放大5倍成了5块钱。请问你总共的投资放大率是多少？”

$3\times 5=15$

翻译成线性代数的表达就是：

$det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)$

这还不够！我来解锁新的体验哈~

上回咱们说到行列式其实就是线性变换的放大率，所以你理解了：
$det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)$

那么很自然，你很轻松就理解了：
$det(AB)=det(BA)$

so easy，因为
$det(AB)=det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)$

同时你也必须很快能理解了

“矩阵 $A$ 可逆” 完全等价于 “ $det(A)\ne 0$ ”

因为再自然不过了啊，试想 $det(A)=0$ 是什么意思呢？不就是线性变换 $A$ 把之前说的 $n$ 维立方体给拍扁了啊？！这就是《三体》中的”降维打击”有木有！！！如来神掌有木有！！！直接把3维立方体 piaji一声~一掌拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！

请注意我们这里说的体积都是针对 $n$ 维空间而言的， $det(A)=0$ 就表示新的立方体在 $n$ 维空间体积为0，但是可能在 $n-1$ 维还是有体积的，只是在 $n$ 维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是妥妥的0。

所以凡是 $det(A)=0$ 的矩阵 $A$ 都是耍流氓，因为这样的变换以后就再也回不去了，降维打击是致命性的。这样的矩阵必然是没有逆矩阵 $A^{-1}$ 的。这就是物理意义和图象思维对理解数学概念的重要性。

当然要证明也是小菜一碟轻而易举的：

由 $AA^{-1}=I$

可知 $det(A)\times det(A^{-1} )=det(I)=1$

这怎么可能啊~？ $det(A)=0$ 了，那么 $det(A^{-1} )$ 等于多少呢？毫无办法，只能不存在。一个矩阵怎么可能行列式不存在呢？只能是因为 $A^{-1}$ 不存在。所以 $A$ 自然不可逆。

YES！竟然真的过1000了，我来加点儿烧脑的，第一次看以下结论如果没有毁三观亮瞎双眼的刺激感，请接受阿哲的膝盖：

傅里叶变换也可以求行列式！！！

是的你没有听错，大名鼎鼎的傅里叶变换 $F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$ 居然也可以求行列式！！！

首先一定有很多人要问责我，是不是没有学过行列式，因为按照绝大多数教科书来说，行列式是这样定义的：

$det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n} }^{}{} sgn(\sigma )\prod_{i=1}^{n} A_{\sigma (i)i}$

然后还有什么好说的，拿到一个矩阵各种化简然后算就好了呗，可是怎么说傅里叶变换也可以求行列式？傅里叶变换又不是一个矩阵，更别说矩阵元 $A_{ij}$ 了。我在痴人说梦吗？

但是，等等！桥度麻袋，“傅里叶变换”里面有个"变换"，难道它也是“线性变换”？！！！

一检查，尼玛还真的是。所有函数 $f(x)$ 就组成了一个向量空间，或者说线性空间。可是为什么呢？从高中咱们就熟悉的 $f(x)$ 明明是函数啊，怎么就变成了向量 $v$ 呢？向量 $v$ 不是一个 $n$ 维空间中的箭头吗？长得也不像啊。

其实 “所有 $f(x)$ 组成的集合” 确实满足一切线性空间的定义，比如：

1，向量 $f(x)$ 和向量 $g(x)$ 可以相加，并且有交换律 $f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$

2，存在零向量 $f(x)=0(x)$ ，即处处值为零的函数

3，任何一个向量 $f(x)$ 都存在一个与之对应的逆向量 $-f(x)$ ，使得相加之和等于零向量 $f(x)+(-f(x))=0(x)$

以及存在数乘以及分配率等性质…… 总之“所有向量 $f(x)$ 组成的集合”完美满足线性空间的8条黄金法则。

艾玛真是亮瞎了俺的钛合金左眼，原来咱们熟悉的函数 $f(x)$ 身世可不一般啊，其实它是一个掩藏得很好的向量！！！对，我没有说错，因为所有函数 $f(x)$ 组成的集合构成了一个线性空间！而且还是无穷维的线性空间！！！阿哲校长感动得哭了 T____T

好，下面准备亮瞎钛合金右眼吧~

一旦接受了向量 $f(x)$ 是向量的设定，周围的一切都变得有趣起来了！轶可赛艇！！！

接下来不妨思考一下，傅里叶变换 $F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$ 是把一个函数 $f(x)$ 变成了另一个函数 $F(k)$ ，难道不可以理解为把一个线性空间中的向量 $f(x)$ 变成了另一个线性空间中的向量 $F(k)$ 吗？我整个人都咆哮了！！！

而且这个变换是妥妥的线性的，完美地满足线性变换的定义：

$A(v_{1}+v_{2})=Av_{1}+Av_{2}$ 以及 $A(k \times v_{1})=k\times Av_{1}$

因为积分变换的线性性：

$f(x)+g(x)$ 的傅里叶变换 $=\int_{-\infty }^{\infty} (f(x)+g(x))e^{ikx}dx$ $=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx+\int_{-\infty }^{\infty} g(x)e^{ikx}dx=$ $f(x)$ 的傅里叶变换+ $g(x)$ 的傅里叶变换

加法达成。当然数乘也轻松满足：

$\int_{-\infty }^{\infty} (kf(x))e^{ikx}dx=k\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$

于是乎，我们通过以上内容知道了一个重要的结论：

傅里叶变换其实也是线性变换，所以也可以求行列式！！！

（其实傅里叶变换作为一个线性变换不但可以求行列式，更可以求它的特征向量！！比如 $f(x)=e^{-x^{2} /2}$ ，以及其他很多很多牛逼的东东，恭喜你又一扇新世界的大门被打开了。千万不要小看傅里叶变换，比如量子力学不确定性原理的秘密就都在这里了）

言归正传那么傅里叶变换神秘的行列式的值 $det(F)$ 究竟是多少呢？难道这个无穷维线性变换也可以求出行列式吗？

那阿哲就把 $det(F)$ 求出来给你看：

很明显的问题是这是一个比较困难的问题，如果不太困难的话评论中应该有人po出了答案。因为求傅里叶变换的行列式让我们觉得没有工具可以用，行列式的定义式毫无用武之地。毕竟没有谁能够写出傅里叶变换的 $\infty \times \infty$ 矩阵表达式并套用公式。

所以一定要用到其他的化简办法，例如对称性啊等等。不妨先回顾一下之前的结论，对于任何可逆线性变换 $A$ 有如下性质：

$det(A)\times det(A^{-1} )=det(I)=1$

如果把傅里叶变换 $F$ 看做是一个无穷维的 $A$ ，那么也一定满足这个性质。所以只要求出了傅里叶变换的逆变换的行列式，求一个倒数就得到了傅里叶变换的行列式。

艾玛~ 问题变得更难了。傅里叶变换的逆变换？还好我学过。。。

若傅里叶变换是： $F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx$

则它的逆变换是： $f(x)=\frac{1}{2\pi } \int_{-\infty }^{\infty} F(k)e^{-ikx}dk$ （说明傅里叶变换可逆，因为表达式都出来了）

现在的问题是，正负变换，我都不会求行列式，唯一知道的是 $det(F)\times det(F^{-1} )=1$ 为之奈何？我们还需要至少一个表达式能够反映二者的关系，连立起来才能够求解。

没问题，因为这两个变换真是太像了，像到几乎完全对称。差异点仅仅在于逆变换多一个乘积系数 $\frac{1}{2\pi }$ ，以及积分因子 $e^{ikx}$ 多了一个负号。除此之外完全是同一个线性变换。而积分因子 $e^{ikx}$ 多一个负号是什么意思？意味着复数空间的手性定义相反， $i$ 变成了 $-i$ ，左手变成右手，或者说虚数部分取负号实数部分不变。这样的手性改变，并不会改变线性变换的体积放大率（之前的知识）。于是乎在线性变化的方法率的意义下，傅里叶变换和它的逆变换放大率是一样的（还差一个乘积系数 $\frac{1}{2\pi }$ ）。