在前段时间做本科毕业设计的时候，遇到了各个类别的样本量分布不均的问题——某些类别的样本数量极多，而有些类别的样本数量极少，也就是所谓的类不平衡（class-imbalance）问题。
什么是类不平衡问题
类不平衡（class-imbalance）是指在训练分类器中所使用的训练集的类别分布不均。比如说一个二分类问题，1000个训练样本，比较理想的情况是正类、负类样本的数量相差不多；而如果正类样本有900个、负类样本仅100个，就意味着存在类不平衡。
在后文中，把样本数量过少的类别称为“少数类”。
为什么类不平衡是不好的
从模型的训练过程来看
从训练模型的角度来说，如果某类的样本数量很少，那么这个类别所提供的“信息”就太少。
取经验风险（模型在训练集上的平均损失）作为目标函数，那么模型的学习准则就是最小化经验风险。考虑最极端的情况：1000个训练样本中，正类样本999个，负类样本1个。某次迭代结束后，模型把所有的样本都分为正类，虽然分错了这个负类，但是所带来的损失实在微不足道，因为目标函数的值已经很小了。
因此，模型没有学习到如何去判别出少数类。
从模型的预测过程来看
考虑二项逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）模型。输入一个样本 $i$ ，模型输出的是其属于正类的概率 $y_i$ 。当 $y_i>0.5$ 时，模型判定该样本属于正类，否则就是属于反类。
为什么是 $0.5$ 呢？
首先，模型在做出决策时，当然要基于真实样本总体的正负类样本分布：设任意一个样本属于正类的概率是 $\theta$ （等于正类样本数除以全部样本数），如果模型给出的样本属于正类的概率 $y_i>\theta$ ，那么就判定这个样本属于正类。
虽然我们无法获悉真实样本总体，但之于训练集，存在这样一个假设：训练集是真实样本总体的无偏采样。正是因为这个假设，所以认为训练集的正负样本比例$\dfrac{\hat\theta}{1-\hat\theta}$就是真实样本总体的正负样本比例 $\dfrac{\theta}{1-\theta}$ 。
所以当训练集的正、负类样本比例大约是 $1:1$ 时，模型认为：真实样本总体的正、负类样本比例也大约是 $1:1$ 。此时，当然要取 $\theta=0.5$ 。
当训练集存在类不平衡时，比如说正、负类样本比例为 $9:1$ ，这个 $0.5$ 就不合适了。
几种解决方案
目前主要有三种办法：
1. 调整 $\theta$ 值
根据训练集的正负样本比例，调整 $\theta$ 值。
这样做的依据是上面所述的对训练集的假设。但在给定任务中，这个假设是否成立，还有待讨论。
2. 过采样
对训练集里面样本数量较少的类别（少数类）进行过采样，合成新的样本来缓解类不平衡。
下面将介绍一种经典的过采样算法：SMOTE。
3. 欠采样
对训练集里面样本数量较多的类别（多数类）进行欠采样，抛弃一些样本来缓解类不平衡。
SMOTE过采样算法
JAIR‘2002的文章《SMOTE: Synthetic Minority Over-sampling Technique》详细阐述了该算法。概括来说，本算法基于“插值”来为少数类合成新的样本。下面介绍如何合成新的样本。
设训练集的一个少数类的样本数为 $T$ ，那么SMOTE算法将为这个少数类合成 $NT$ 个新样本。这里要求 $N$ 必须是正整数，如果给定的 $N<1$ 那么算法将“认为”少数类的样本数 $T=NT$ ，并将强制 $N=1$ 。
考虑该少数类的一个样本 $i$ ，其特征向量为 $\boldsymbol x_i,i\in{1,...,T}$ ：
1. 首先从该少数类的全部 $T$ 个样本中找到样本 $\boldsymbol x_i$ 的 $k$ 个近邻（例如用欧式距离），记为 $\boldsymbol x_{i(near)},near\in{1,...,k}$ ；
2. 然后从这 $k$ 个近邻中随机选择一个样本 $\boldsymbol x_{i(nn)}$ ，再生成一个 $0$ 到 $1$ 之间的随机数 $\zeta_1$ ，从而合成一个新样本 $\boldsymbol x_{i1}$ ：
$$\boldsymbol x_{i1}=\boldsymbol x_i+\zeta_1\cdot (\boldsymbol x_{i(nn)}−\boldsymbol x_i)$$
3. 将步骤2重复进行 $N$ 次，从而可以合成 $N$ 个新样本：$\boldsymbol x_{inew},new\in{1,...,N}$。
那么，对全部的 $T$ 个少数类样本进行上述操作，便可为该少数类合成 $NT$ 个新样本。如果样本的特征维数是 $2$ 维，那么每个样本都可以用二维平面上的一个点来表示。SMOTE算法所合成出的一个新样本 $\boldsymbol x_{i1}$ 相当于是表示样本 $\boldsymbol x_i$ 的点和表示样本 $\boldsymbol x_{i(nn)}$ 的点之间所连线段上的一个点。所以说该算法是基于“插值”来合成新样本。
主要参考资料：
《机器学习》，周志华
《SMOTE: Synthetic Minority Over-sampling Technique》，JAIR‘2002