6305.RMQ Similar Sequence
这个题的意思就是对于A，B两个序列，任意的l，r，如果RMQ(A，l，r)=RMQ(B，l，r)，B序列里的数为[0,1]的实数，B的重量为B的所有元素的和，否则为0。问你B的期望重量是多少。
dls讲题说是笛卡尔树，笛卡尔树是一种特定的二叉树数据结构，具体的看这篇博客吧：【pushing my way】笛卡尔树
这个题就是笛卡尔树同构的问题，假设A的笛卡尔树的子树大小为sz[u]，那么序列B与A同构的概率为
，因为B中的数满足均匀分布(因为B中的元素为[0,1]中的任意实数)，所以每个位置的期望值为(0+1)/2，那么B的重量总和为n/2，所以B的重量的期望值为
。
贴一下官方题解:
RMQ-Similar实际上就是A和B的笛卡尔树一样，这样我们就有了一个二叉树，然后可以在树上分析了。 考虑到B中有元素相同的概率是0，于是可以假设B里面元素互不相同，也就是说可以假定是一个排列。 显然，符合笛卡尔树的排列就是这个树的拓扑序列个数，就是
。然后显然每个排列期望的和是
，于是答案就是
。
代码(参考别人的模板)：
1 //1008-6305-RMQ的概念、笛卡尔树模板题，同构求bi的拓扑序个数
2 #include<iostream>
3 #include<cstdio>
4 #include<cstring>
5 #include<algorithm>
6 #include<cmath>
7 #include<cstdlib>
8 #include<cassert>
9 #include<queue>
10 #include<vector>
11 #include<stack>
12 using namespace std;
13 typedef long long ll;
14 const int maxn=1e6+10;
15 const int inf=0x3f3f3f3f;
16 const int mod=1e9+7;
17
18 stack<int>st;
19 ll inv[maxn];
20 int n;
21
22 struct node{
23 int val,sz;
24 int l,r,par;
25 }t[maxn];
26
27
28 void init()
29 {
30 for(int i=0;i<=n;i++)
31 t[i].l=0,t[i].r=0,t[i].par=0,t[i].sz=0;//初始化
32 t[0].val=inf;
33 while(!st.empty())
34 st.pop();
35 st.push(0);
36 }
37
38 void build()
39 {
40 for(int i=1;i<=n;i++){
41 while(!st.empty()&&t[st.top()].val<t[i].val)//从栈顶往栈底遍历，
42 st.pop();
43 int par=st.top();
44 t[i].par=par;//i.par为st.pop()
45 t[i].l=t[par].r;
46 t[t[par].r].par=i;
47 t[par].r=i;//右子树
48 st.push(i);
49 }
50 }
51
52 void dfs(int u)
53 {
54 if(u==0) return ;
55 t[u].sz=1;
56 dfs(t[u].l);
57 dfs(t[u].r);
58 t[u].sz+=t[t[u].l].sz+t[t[u].r].sz;
59 }
60
61 void Inv(){//扩展gcd求逆元
62 inv[1]=1;
63 for(int i=2;i<maxn;i++)
64 inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
65 }
66
67 int main()
68 {
69 int T;
70 Inv();
71 scanf("%d",&T);
72 while(T--){
73 scanf("%d",&n);
74 init();
75 for(int i=1;i<=n;i++)
76 scanf("%d",&t[i].val);
77 build();
78 dfs(t[0].r);
79
80 ll ans=n*inv[2]%mod;
81 for(int i=1;i<=n;i++)
82 ans=ans*inv[t[i].sz]%mod;
83 printf("%lld\n",ans);
84 }
85 }
代码(标程)：
1 #include <cstdio>
2 #include <functional>
3 #include <algorithm>
4 #include <vector>
5 #include <queue>
6
7 using int64 = long long;
8
9 const int mod = 1e9 + 7;
10
11 int main() {
12 int T;
13 scanf("%d", &T);
14 for (int cas = 1; cas <= T; ++cas) {
15 int n;
16 scanf("%d", &n);
17 std::vector<int> a(n);
18 for (int i = 0; i < n; ++i) {
19 scanf("%d", &a[i]);
20 }
21
22 std::vector<int> left(n, -1), right(n, -1), stk(n), parent(n, -1);
23 for (int i = 0, top = 0; i < n; ++i) {
24 int last = -1;
25 while (top && a[i] > a[stk[top - 1]]) {
26 last = stk[--top];
27 }
28 if (top) {
29 right[stk[top - 1]] = i;
30 parent[i] = stk[top - 1];
31 }
32 left[i] = last;
33 if (last != -1) parent[last] = i;
34 stk[top++] = i;
35 }
36
37 std::vector<int> inv(n + 2, 1);
38 for (int i = 2; i < n + 2; ++i) {
39 inv[i] = int64(mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
40 }
41
42 using pii = std::pair<int, int>;
43 {
44 std::vector<pii> a(n), b(n);
45 std::queue<int> queue;
46 std::vector<int> cnt(n);
47 for (int i = 0; i < n; ++i) {
48 a[i] = b[i] = {inv[2], 0};
49 if (left[i] == -1 && right[i] == -1) {
50 queue.push(i);
51 }
52 cnt[i] = (left[i] != -1) + (right[i] != -1);
53 }
54 while (!queue.empty()) {
55 int u = queue.front(); queue.pop();
56 pii res = {(int64)a[u].first * inv[a[u].second] % mod * b[u].first % mod * inv[b[u].second] * 2 % mod, a[u].second + b[u].second + 1};
57 int p = parent[u];
58 if (p == -1) {
59 printf("%d\n", res.first);
60 break;
61 }
62 if (cnt[p] == 2) a[p] = res;
63 else if (cnt[p] == 1) b[p] = res;
64 --cnt[p];
65 if (cnt[p] == 0) queue.push(p);
66 }
67 }
68 }
69 return 0;
70 }
讲道理，还是有点不太清楚，还不熟练，多学习一下。
溜了。。。
原文地址：https://www.cnblogs.com/ZERO-/p/9395257.html
时间： 2024-10-15 15:38:36