13.赫夫曼树及其应用

一、赫夫曼树定义与原理

1.路径长度：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成两个结点之间的路径，路径上的分支数目称作路径的长度;

2.树的路径长度：即从树根到每一结点的路径长度之和;

3.结点的带权的路径长度：即从该结点从到树根之间的路径长度与结点上权的乘积;

4.树的带权路径长度：为树中所有叶子结点的带权路径长度之和;

5.赫夫曼树定义：假设有n个权值{w1,w2,....,wn}，构造一颗有n个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wk,每个叶子的路径长度为lk，则其中带权路径长度WPL最小的二叉树称作赫夫曼树，也称最优二叉树。

由图A可知，该树的带权路径长度WPL=1*10+2*70+3*15+3*5=210.

6.赫夫曼树的建立(算法描述)

(1)根据给定的n个权值{w1,w2,....,wn}构成n棵二叉树的集合F={T1,T2,...,Tn},其中每棵二叉树T1中只有一个带权为w1根结点，其左右子树均为空;

(2)在F中选择两棵根结点的权值最小的树作为左右子树构造一棵新的二叉树，且置新的二叉树的根结点的权值为左右子树上根结点的权值之和;

(3)在F中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入F中；

(4)重复2和3步骤，直到F只含一棵树为止，该树即为赫夫曼树。

7.赫夫曼树的建立举例

假设有一个有序序列{A5、B15、C40、D30、E10}，构成的二叉树如下：

第一步：先把有权值的叶子结点按照从小到大的顺序排列成一个有序序列，即A5、E10、B15、D30、C40

第二步：取头两个最小权值的结点作为一个新结点N1的两个孩子，相对较小的是左孩子。新结点的权值为两个叶子权值的和。如下图：

第三步：将N1替换A和E，新序列为：N115，B15，D30，C40。

第四步：重复步骤2，将N1与B作为新结点N2的两个孩子，N2的权值为15+15=30。如下图：

第五步：将N2替换N1和B，新序列为：N230，D30，C40。

第六步：重复步骤2。将N2和D作为新结点N3的两个孩子，N3的权值为30+30=60，如下图：

第七步：将N3替换N2和D，新序列为：C40，N360。

第八步：重复步骤2，将C与N3作为新结点T的两个孩子，T是根节点，至此完成赫夫曼树的构造。如下图：

图中的二叉树的WPL = 40*1 + 30*2 + 15*3 + 10*4 + 5*4 = 205。经过上面步骤构造出来的二叉树就是最优的赫夫曼树。

二、赫夫曼编码

1.定义

假设需要编码的字符集为{d1,d2,...dn},各个字符在电文中出现的次数或频率集合为{w1,w2,...,wn},以d1,d2,...,dn作为叶子结点，以w1,w2,...,wn作为相应叶子结点的权值来构造一棵赫夫曼树。规定：赫夫曼树的左分支代表0，右分支代表1，则从根结点到叶子结点所经过的路径分支组成的0和1的序列便为该结点对应字符的编码，这就是赫夫曼编码。

2.举例：构造赫夫曼树进行压缩编码

赫夫曼在研究这种最优二叉树时的主要目的是解决当年远距离通信（主要是电报）的数据传输的最优化问题。比如传输一串字符“BADCADFEED”，采用二进制数据表示，如下表：

字母	A	B	C	D	E	F
二进制字符	000	001	010	011	100	101

编码之后的二进制数据流为“001000011010000011101100100011”，对方接收时同样按照3位一组解码。现在假设这6个字母出现的频率不同，A 27%，B %8，C 15%，D 15%，E 30%，F 5%。下面将27、8、15、15、30、5分别作为A、B、C、D、E、F的权值构造赫夫曼树，如下图：