最大子矩阵和问题poj1050

最大子矩阵和问题以POJ1050为例：给出一个矩阵，找出该矩阵的最大子矩阵和

例如：

0 -2 -7 0    
9 2 -6 2 
-4 1 -4 1 
-1 8 0 -2

最大子矩阵为：

9 2 
-4 1 
-1 8 
and has a sum of 15.

分析：首先，我们考虑一种极端的方法，如果这个数组a是一个一维数组，那么这个问题就转换成为了最大子段和问题：最大子段和b[i]=max(b[i-1]+a[i],a[i]),b[i]指的是0到i的最大子段和。

#include <cstdio>
int max_sum=-0xffff;
int a[10000]={0};
int main()
{
    int n;
    scanf ("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf ("%d",&a[i]);
        if(a[i-1]>0) a[i]=a[i]+a[i-1];
        if(a[i]>max_sum) max_sum=a[i];
        printf("%d ",a[i]);
    }
    printf("\n%d",max_sum);
}

那么，我们会想，如何才能把二维数组问题转换成为一维数组问题呢？

好了，现在我们来看二维数组情况，对于一个二维数组，和最大子矩阵有很多种情况，这个子矩阵可能有1,2,3.。。各种情况，这样，我们就需要枚举所有情况之下的子矩阵和，然后找出这个最大的。

 1     scanf ("%d",&n);
 2     for(i=1;i<=n;i++)
 3         for(j=1;j<=n;j++)
 4         {
 5             scanf ("%d",&a[i][j]);
 6             a[i][j]+=a[i-1][j]; //第二行的数是第一行与第二行的和，如此，第三行的数值即为第二行与输入的第三行的和，那么就是说，后一行的数值都是前面所有行数的累加和
 7         }
 8     for(i=1;i<=n;i++)
 9     {
10         for(j=1;j<=n;j++)
11             printf("%d ",a[i][j]);
12         printf("\n");
13     }

如上图所示。

然后我们需要求最大子矩阵和。看如下代码：

int max=a[1][1];//需要一个记录最大子矩阵和
    for(i=0;i<=n-1;i++)//在这里，j-i遍历的就是子矩阵行数的所有情况。
    {
        for(j=i+1;j<=n;j++)
        {
            int b[1000];//需要一个中间数组来记录当子矩阵行数确定之后，我们还需要找出这些列数不同的子矩阵中和最大的那个。
            memset(b,0,sizeof(b));//先把b数组置0
            for(k=1;k<=n;k++)子矩阵的列数从1列举到n
            {
                if(b[k-1]>=0)//如果观察仔细的话，我们可以发现，这里的运算方式其实和上面求最大子段和的方法是一样的。                             //如果b[k-1]所记录的子矩阵和大于等于的话，那么就是b[k]=b[k-1]+a[j][k]-a[i][k].

                     b[k]=b[k-1]+a[j][k]-a[i][k]; 

                else                      b[k]=a[j][k]-a[i][k]; //否则，b[k]=b[k]=a[j][k]-a[i][k]

               if(b[k]>max)                      max=b[k];             }         }     }     printf("%d",max);

这其实就把所有子矩阵都遍历了一遍，然后挑选出最大的值。

完整代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
int a[1000][1000];
int n;
int main()
{
    int i,j,k;
    scanf ("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf ("%d",&a[i][j]);
            a[i][j]+=a[i-1][j];
        }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=n;j++)
            printf("%d ",a[i][j]);
        printf("\n");
    }
    int max=a[1][1];
    for(i=0;i<=n-1;i++)
    {
        for(j=i+1;j<=n;j++)
        {
            int b[1000];
            memset(b,0,sizeof(b));
            for(k=1;k<=n;k++)
            {
                if(b[k-1]>=0)
                    b[k]=b[k-1]+a[j][k]-a[i][k];
                else
                    b[k]=a[j][k]-a[i][k];
                if(b[k]>max)
                    max=b[k];
            }
        }
    }
    printf("%d",max);
    return 0;
}

感谢beiyeqingteng对我的启发。