Part1:平面向量的定义

一般地,我们称一个二维向量是一个二维平面上的有向线段,记为\(\vec{AB}\),其起点为\(A\),终点为\(B\).或简单地,我们也可以用形如\(\vec{a}\)的记号表示一个向量.无向线段\(AB\)的长度(或起点与终点间的距离)称为向量的长度(或模),记作\(|\vec{AB}|\)(\(|\vec a|\)).注意,由于向量的有向性,向量\(\vec{AB}\)和\(\vec{BA}\)是不同的,但是它们长度相同,大小相反.

如果两个向量\(\vec a,\vec b\)的方向,长度均相同,则称这两个向量相等,记作\(\vec a=\vec b\).否则成两个向量不相等,记作\(\vec a\ne \vec b\).

如果\(AB//CD\),那么我们称向量\(\vec{AB}\)和\(\vec{CD}\)是共线的(或平行的),记为\(\vec{AB}//\vec{CD}\).两个向量共线,要么方向相同,要么方向相反.我们把方向相反的向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)称作互为负向量,记作\(\vec a=-\vec b,\vec b=-\vec a\).显然有\(\vec{AB}=-\vec{BA}\).

如果\(AB\perp CD\),那么我们称向量\(\vec{AB}\)和\(\vec{CD}\)是正交的(或垂直的),记为\(\vec{AB}\perp\vec{CD}\).

如果\(|\vec a|=0\),那么我们称\(\vec a\)为一个零向量,记作\(\vec a=\vec 0\).零向量的起点与终点相同.

如果\(|\vec a|=1\),那么我们称\(\vec a\)为一个单位向量.给定起点的单位向量终点的轨迹是一个单位圆.

以后,为方便讨论,我们将向量移到平面坐标系上,并规定一般所有向量的起点都是原点\(O\).这样,平面向量就与二维点有了一个一一对应.

Part2:平面向量的线性运算

加法&减法

两个向量的加法满足平行四边形法则.如图,

我们称\(\vec{OA}\),\(\vec{OB}\)所围成平行四边形\(OACB\)的一条对角线\(\vec{OC}\)就是\(\vec{OA}\),\(\vec{OB}\)的和,记作\(\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}\).

我们称两个向量\(\vec{OA},\vec{OB}\)的差为\(\vec{OA}+(-\vec{OB})\),即\(\vec{OA}\),\(-\vec{OB}=\vec{OB'}\)所围成的平行四边形\(OACB'\)的一条对角线\(\vec{OC}\),记作\(\vec{OC}=\vec{OA}-\vec{OB}\).

或更一般的,两个向量\(\vec{OA},\vec{OB}\)的差就是\(\vec{AB}\)(注意,\(\vec{OA}\),\(\vec{OB}\)必须满足后面所说的右手准则).

向量的加法满足交换律,结合律.即,

(交换律)\(1.\vec a+\vec b=\vec b+\vec a.\)

(结合律)\(2.\vec a+\vec b+\vec c=(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c).\)

数乘

对于一个向量\(\vec{OA}\),以及实数\(\lambda>0\),定义\(\vec{OA}\)与\(\lambda\)的数乘为将\(\vec{OA}\)往原方向拉伸(或缩小)\(\lambda\)倍所得的向量,即满足于\(\vec{OA}\)同向,并且\(\lambda|\vec{OA}|=|\vec{OA'}|\)的向量\(\vec{OA'}\),记作\(\vec{OA'}=\lambda{\vec{OA}}\).

原文地址：https://www.cnblogs.com/Anverking/p/math-plvec.html