题目意思是求起点s到终点s的最短路，但是只能在圆的内部和边上走。一种可以想到的方法就是求出所有的交点，然后两两连边并验证合法性，但是这样的交点数规模有n2。
我们可以观察发现，我们在圆求并构成的图形中，在其内部的点是不可能成为最短路上的点，只可能是沿着边上的点擦着经过，所以我们需要把在圆内部的所有点都给扣掉，同样可以证明这样的点的规模只有n个，接下来只需要暴力连边，但是连边的时候需要验证这样的点对是否沿着直线可达。我是直接将这条线段暴力和所有圆求交点，左侧端点计为1，右侧端点计为-1，然后用类似于扫描线的做法sort一遍，最后判断线段的两端是否被这个区间包含即可。
最后跑一边dijk就求出答案。
这个方法感觉不是很好.... 还有比我快20倍的orz...
如果扣的是灰色点那么规模有n2
如果是外侧点只有n个，绿色点即为可用点，红色和橙色为两条路，则最短路必然擦过外侧点或者起点终点直接相连
1 // ——By DD_BOND
2
3 //#include<bits/stdc++.h>
4 //#include<unordered_map>
5 //#include<unordered_set>
6 #include<functional>
7 #include<algorithm>
8 #include<iostream>
9 //#include<ext/rope>
10 #include<iomanip>
11 #include<climits>
12 #include<cstring>
13 #include<cstdlib>
14 #include<cstddef>
15 #include<cstdio>
16 #include<memory>
17 #include<vector>
18 #include<cctype>
19 #include<string>
20 #include<cmath>
21 #include<queue>
22 #include<deque>
23 #include<ctime>
24 #include<stack>
25 #include<map>
26 #include<set>
27 #include<cassert>
28
29 #define fi first
30 #define se second
31 #define pb push_back
32 #define MP make_pair
33
34 #pragma GCC optimize(3)
35 #pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
36
37 using namespace std;
38
39 typedef long double db;
40 typedef long long ll;
41 typedef pair<db,db> Pd;
42 typedef pair<int,int> P;
43 typedef pair<ll,ll> Pll;
44
45 const db eps=1e-8;
46 const int MAXN=1e5+10;
47 const db pi=acos(-1.0);
48 const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
49
50 inline int dcmp(db x){
51 if(fabs(x)<eps) return 0;
52 return (x>0? 1: -1);
53 }
54
55 inline db Sqrt(db x){
56 return x>0? sqrt(x): 0;
57 }
58
59 inline db sqr(db x){ return x*x; }
60
61 struct Point{
62 db x,y;
63 Point(){ x=0,y=0; }
64 Point(db _x,db _y):x(_x),y(_y){}
65 void input(){
66 double _x,_y;
67 scanf("%lf%lf",&_x,&_y);
68 x=_x,y=_y;
69 }
70 void output(){ printf("%.2f %.2f\n",(double)x,(double)y); }
71 friend istream &operator >>(istream &os,Point &b){
72 os>>b.x>>b.y;
73 return os;
74 }
75 friend ostream &operator <<(ostream &os,Point &b){
76 os<<b.x<<‘ ‘<<b.y;
77 return os;
78 }
79 bool operator ==(const Point &b)const{
80 return (dcmp(x-b.x)==0&&dcmp(y-b.y)==0);
81 }
82 bool operator !=(const Point &b)const{
83 return !((dcmp(x-b.x)==0&&dcmp(y-b.y)==0));
84 }
85 bool operator <(const Point &b)const{
86 return (dcmp(x-b.x)==0? dcmp(y-b.y)<0 : x<b.x);
87 }
88 db operator ^(const Point &b)const{ //叉积
89 return x*b.y-y*b.x;
90 }
91 db operator *(const Point &b)const{ //点积
92 return x*b.x+y*b.y;
93 }
94 Point operator +(const Point &b)const{
95 return Point(x+b.x,y+b.y);
96 }
97 Point operator -(const Point &b)const{
98 return Point(x-b.x,y-b.y);
99 }
100 Point operator *(db a){
101 return Point(x*a,y*a);
102 }
103 Point operator /(db a){
104 return Point(x/a,y/a);
105 }
106 db len2(){ //长度平方
107 return sqr(x)+sqr(y);
108 }
109 db len(){ //长度
110 return Sqrt(len2());
111 }
112 Point change_len(db r){ //转化为长度为r的向量
113 db l=len();
114 if(dcmp(l)==0) return *this; //零向量
115 return Point(x*r/l,y*r/l);
116 }
117 Point rotate_left(){ //逆时针旋转90度
118 return Point(-y,x);
119 }
120 Point rotate_right(){ //顺时针旋转90度
121 return Point(y,-x);
122 }
123 };
124
125 inline db cross(Point a,Point b){ //叉积
126 return a.x*b.y-a.y*b.x;
127 }
128
129 inline db dot(Point a,Point b){ //点积
130 return a.x*b.x+a.y*b.y;
131 }
132
133 inline db dis(Point a,Point b){ //两点的距离
134 Point p=b-a; return p.len();
135 }
136
137 struct Line{
138 Point s,e;
139 Line(){}
140 Line(Point _s,Point _e):s(_s),e(_e){} //两点确定直线
141 void input(){
142 s.input();
143 e.input();
144 }
145 db length(){ //线段长度
146 return dis(s,e);
147 }
148 };
149
150 inline db point_to_line(Point p,Line a){ //点到直线距离
151 return fabs(cross(p-a.s,a.e-a.s)/a.length());
152 }
153
154 inline Point projection(Point p,Line a){ //点在直线上的投影
155 return a.s+(((a.e-a.s)*dot(a.e-a.s,p-a.s))/(a.e-a.s).len2());
156 }
157
158 struct Circle{
159 Point p;
160 db r;
161 Circle(){}
162 void input(){
163 p.input();
164 double _r;
165 scanf("%lf",&_r);
166 r=_r;
167 }
168 };
169
170 inline int relation(Point p,Circle a){ //点和圆的位置关系 0:圆外 1:圆上 2:圆内
171 db d=dis(p,a.p);
172 if(dcmp(d-a.r)==0) return 1;
173 return (dcmp(d-a.r)<0? 2: 0);
174 }
175
176 inline int relation(Line a,Circle b){ //直线和圆的位置关系 0:相离 1:相切 2:相交
177 db p=point_to_line(b.p,a);
178 if(dcmp(p-b.r)==0) return 1;
179 return (dcmp(p-b.r)<0? 2: 0);
180 }
181
182 inline int relation(Circle a,Circle v){ //圆和圆的位置关系 1:内含 2:内切 3:相交 4:外切 5:相离
183 db d=dis(a.p,v.p);
184 if(dcmp(d-a.r-v.r)>0) return 5;
185 if(dcmp(d-a.r-v.r)==0) return 4;
186 db l=fabs(a.r-v.r);
187 if(dcmp(d-l)>0) return 3;
188 if(dcmp(d-l)==0) return 2;
189 return 1;
190 }
191
192 inline int circle_intersection(Circle a,Circle v,Point &p1,Point &p2){ //两个圆的交点
193 int rel=relation(a,v); //返回交点个数，保存在引用中
194 if(rel==1||rel==5) return 0;
195 db d=dis(a.p,v.p);
196 db l=(d*d+a.r*a.r-v.r*v.r)/(2*d);
197 db h=Sqrt(a.r*a.r-l*l);
198 Point tmp=a.p+(v.p-a.p).change_len(l);
199 p1=tmp+((v.p-a.p).rotate_left().change_len(h));
200 p2=tmp+((v.p-a.p).rotate_right().change_len(h));
201 if(rel==2||rel==4) return 1;
202 return 2;
203 }
204
205 inline int line_circle_intersection(Line v,Circle u,Point &p1,Point &p2){ //直线和圆的交点
206 if(!relation(v,u)) return 0; //返回交点个数，保存在引用中
207 Point a=projection(u.p,v);
208 db d=point_to_line(u.p,v);
209 d=Sqrt(u.r*u.r-d*d);
210 if(dcmp(d)==0){
211 p1=a,p2=a;
212 return 1;
213 }
214 p1=a+(v.e-v.s).change_len(d);
215 p2=a-(v.e-v.s).change_len(d);
216 return 2;
217 }
218
219 typedef pair<db,int>pdi;
220 typedef pair<Point,int> pd;
221
222 vector<pdi>edge[MAXN];
223
224 db d[MAXN];
225 pd st[MAXN];
226 bool mark[MAXN];
227 Circle circle[MAXN];
228 Point s,t,it1,it2,inter[MAXN],point[MAXN];
229
230 priority_queue<pdi,vector<pdi>,greater<pdi> >q;
231
232 bool cmp(pd a,pd b){
233 if(a==b) return a.se>b.se;
234 return a<b;
235 }
236
237 int main(void){
238 s.input(); t.input();
239 int n,m=1,cnt=1; scanf("%d",&n);
240 for(int i=1;i<=n;i++) circle[i].input();
241 for(int i=1;i<=n;i++)
242 for(int j=i+1;j<=n;j++){
243 int p=relation(circle[i],circle[j]);
244 if(p==2||p==3||p==4){
245 circle_intersection(circle[i],circle[j],it1,it2);
246 point[m++]=it1,point[m++]=it2;
247 }
248 }
249 sort(point+1,point+m);
250 m=unique(point+1,point+m)-point;
251 for(int i=1;i<m;i++)
252 for(int j=1;j<=n;j++)
253 if(relation(point[i],circle[j])==2){
254 mark[i]=1;
255 break;
256 }
257 for(int i=1;i<m;i++)
258 if(mark[i]==0)
259 point[cnt++]=point[i];
260 m=cnt; point[0]=s,point[m]=t;
261 for(int i=0;i<=m;i++)
262 for(int j=i+1;j<=m;j++){
263 int p=0;
264 Line l(point[i],point[j]);
265 Point p1=point[i],p2=point[j];
266 if(p2<p1) swap(p1,p2);
267 for(int k=1;k<=n;k++){
268 Circle c=circle[k];
269 if(relation(l,c)){
270 line_circle_intersection(l,c,it1,it2);
271 if(it2<it1) swap(it1,it2);
272 st[p++]=pd(it1,1);
273 st[p++]=pd(it2,-1);
274 }
275 }
276 int found=0;
277 sort(st,st+p,cmp);
278 for(int k=0,sum=0,start=0;k<p;k++){
279 sum+=st[k].se;
280 if(sum==0){
281 if(!(p1<st[start].fi)&&!(st[k].fi<p2)) found=1;
282 start=k+1;
283 }
284 }
285 if(found){
286 edge[i].pb(pdi(l.length(),j));
287 edge[j].pb(pdi(l.length(),i));
288 }
289 }
290 for(int i=1;i<=m;i++) d[i]=1e20;
291 q.push(pdi(0,0));
292 while(!q.empty()){
293 pdi p=q.top(); q.pop();
294 if(dcmp(d[p.se]-p.fi)<0) continue;
295 for(int i=0;i<edge[p.se].size();i++){
296 int v=edge[p.se][i].se;
297 db val=edge[p.se][i].fi;
298 if(dcmp(d[p.se]+val-d[v])<0){
299 d[v]=d[p.se]+val;
300 q.push(pdi(d[v],v));
301 }
302 }
303 }
304 printf("%.5f\n",(double)d[m]);
305 return 0;
306 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/dd-bond/p/11622268.html
时间： 2024-11-09 02:55:41