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原生的中值滤波是基于排序算法的，这样的算法复杂度基本在O(r2)左右，当滤波半径较大时，排序算法就显得很慢。对此有多种改进算法，这里介绍经典
的Huang算法与O(1)算法，两者都是基于记忆性的算法，只是后者记性更强。
排序算法明显的一个不足之处就是无记忆性。当核向右移动一列后，只是核的最左和最右列数据发生了变化，中间不变的数据应当被存储起来，而排序算法
并没有做到这点。Huang算法的思想是建立一个核直方图，来统计核内的各灰度的像素数。当核向右移动时，就将新的一列所有数据加入到直方图中，同时将最
左列的旧数据从直方图中删除，如下图所示。这样做使得大部分数据能够被记忆，减少重复操作。当直方图更新完毕后，就可以通过从左到右累计像素来找到中值。
下面是算法具体实现步骤与代码：
1.每行开始都将直方图、像素计数、中值变量清零，将核覆盖的所有像素加到直方图中。
2.计算中值，sumcnt为小于中值灰度的像素数和。如果当前sumcnt大于等于阈值，则表明，实际中值比当前median小，则直方图向左减去像素数，同时median
也减小，直到sumcnt小于阈值，则此时median为中值（sumcnt加上中值像素数将大于或等于阈值）；如果sumcnt加上median像素数仍小于阈值，表明，实
际中值比当前median大，则直方图向右累加像素数，同时median增加，直到sumcnt加上median像素数大于等于阈值，则此时median为中值（sumcnt小于阈值）。
3.核每向右移动一列，更新核直方图，比较每一个新加入的灰度值与median，小于则median加1，比较每一个减去的灰度值与median，小于则median减1。执行
一次步骤2后继续移动核，直到整幅图都被滤波完毕。
%中值滤波黄法
%输入：8位深度图像、滤波半径（3*3的半径为1,中值百分比）
function grayimg=medianfilterhuang(grayimg,radius,percentage)
[sizex,sizey]=size(grayimg);
thres=int16(((2*radius+1)^2*percentage));
%扩展边界
extendimg=int16(horzcat(repmat(grayimg(:,1),1,radius),grayimg,repmat(grayimg(:,sizey),1,radius)));
extendimg=int16(vertcat(repmat(extendimg(1,:),radius,1),extendimg,repmat(extendimg(sizex,:),radius,1)));
for i=radius+1:sizex+radius
%初始化直方图，每行第一个将所有像素加入直方图
histogram=int16(zeros(256,1));
sumcnt=int16(0);
median=int16(0);
for j=radius+1:sizey+radius
%遍历卷积覆盖行
for k=i-radius:i+radius
if (j>radius+1)
%删去左列，加入新右列
histogram(extendimg(k,j-radius-1)+1)=histogram(extendimg(k,j-radius-1)+1)-1;
histogram(extendimg(k,j+radius)+1)=histogram(extendimg(k,j+radius)+1)+1;
%只关心中值灰度以左的像素数量
if (extendimg(k,j-radius-1)<median)
sumcnt=sumcnt-1;
end
if (extendimg(k,j+radius)<median)
sumcnt=sumcnt+1;
end
else
%行首
for h=j-radius:j+radius
histogram(extendimg(k,h)+1)=histogram(extendimg(k,h)+1)+1;
end
end
end
%sumcnt不将中值像素数累加进去
%旧中值偏大
while(sumcnt>=thres)
median=median-1;
sumcnt=sumcnt-histogram(median+1);
end
%旧中值偏小
while(sumcnt+histogram(median+1)<thres)
sumcnt=sumcnt+histogram(median+1);
median=median+1;
end
grayimg(i-radius,j-radius)=median;
end
end
end
Huang算法
性能分析发现，Huang算法的大部分时间花在了更新核直方图上。并且由于它是O(r)的复杂度，因此当滤波半径变大后，更新直方图部分花费的时间也变多，而计算
中值部分所花时间一直都是固定的，因为它的复杂度是O(1)，与滤波半径无关。那么为了使直方图更新的复杂度能降到O(1)，就要增强算法的记忆性。可以看到以相邻行
相同列为中心的核之间也存在重合，这跟之前以相邻列相同行为中心的核存在重合类似。于是，我们可以为每列都维护一个直方图，而核直方图可以由这些列直方图相加
得到，更新核的时候，最右边的一列直方图向下移动一行，就更新了列直方图，再减去最左边一列直方图，核就得到更新。这样每次更新直方图都只要移动一次列直方图，
而其余的都是直方图的加减操作，值得注意的是，这样的实现很完美得利用了可并行的矩阵加减来代替顺序执行的for迭代。因此，虽然更新过程看上去有许多加减操作，
实际上都是可快速并行执行的。
还有一点，由于并行化的矩阵加减，就不能用sumcnt来跟踪阈值变化了。如果直接迭代累加直方图，最坏的情况是要执行255加法。为了使中值计算更快，可以采用
两层直方图，高层用于保存高4位（直方图大小为16*1），低层保存全位（直方图大小为256*1）。每次先累加高层进行范围缩小，再从相应范围累加低层找到中值。只是
这样就牺牲了内存空间。
下面是算法具体实现步骤与代码：
1.扩展图像边界，上边界扩展r+1行，其他边界扩展r行；为每列生成两层直方图，并为其初始化，添加各列的前2*r+1个像素；生成一个低层链接高层的索引矩阵。
2.每行开始清零核直方图，更新核覆盖的各列直方图（向下移动一行），将各列加到核直方图中。
3.寻找中值，初始化sumcnt=0，这里它表示小于等于中值灰度的像素和，从左到右迭代高层直方图，直到sumcnt大于等于阈值；再从高层确定的范围内从右到左迭代
低层直方图，直到sumcnt（减去了迭代灰度的像素数）小于阈值，则当前迭代值为中值。
4.核每向右移动，更新列直方图与核直方图，执行一次步骤3，然后继续移动核，直到完成整个图的滤波。
function grayimg=medianfilterdp(grayimg,radius,percentage)
[sizex,sizey]=size(grayimg);
thres=int16(((2*radius+1)^2*percentage));
%扩展边界
extendimg=int16(horzcat(repmat(grayimg(:,1),1,radius),grayimg,repmat(grayimg(:,sizey),1,radius)));
extendimg=int16(vertcat(repmat(extendimg(1,:),radius+1,1),extendimg,repmat(extendimg(sizex,:),radius,1)));
%为每一列维护一个全位直方图和一个高位直方图
histogram_cols_low=int16(zeros(sizey+2*radius,256));
histogram_cols_high=int16(zeros(sizey+2*radius,16));
%中值计算所用的一个全位直方图和一个高位直方图
histogram_low=int16(zeros(1,256));
histogram_high=int16(zeros(1,16));
%全位转高位的加速索引
grayrange=int16(zeros(1,256));
for i=1:16
grayrange(:,(i-1)*16+1:i*16)=i;
end
%初始化各列直方图
for row=1:2*radius+1
for col=1:sizey+2*radius
histogram_cols_low(col,extendimg(row,col)+1)=histogram_cols_low(col,extendimg(row,col)+1)+1;
histogram_cols_high(col,grayrange(extendimg(row,col)+1))=histogram_cols_high(col,grayrange(extendimg(row,col)+1))+1;
end
end
for row=int16(radius+2:sizex+radius+1)
for col=int16(radius+1:sizey+radius)
if(col>radius+1)
%更新右边新列，删除左边旧列
histogram_cols_low(col+radius,extendimg(row+radius,col+radius)+1)=histogram_cols_low(col+radius,extendimg(row+radius,col+radius)+1)+1;
histogram_cols_low(col+radius,extendimg(row-radius-1,col+radius)+1)=histogram_cols_low(col+radius,extendimg(row-radius-1,col+radius)+1)-1;
histogram_cols_high(col+radius,grayrange(extendimg(row+radius,col+radius)+1))=histogram_cols_high(col+radius,grayrange(extendimg(row+radius,col+radius)+1))+1;
histogram_cols_high(col+radius,grayrange(extendimg(row-radius-1,col+radius)+1))=histogram_cols_high(col+radius,grayrange(extendimg(row-radius-1,col+radius)+1))-1;
histogram_low=histogram_low+histogram_cols_low(col+radius,:)-histogram_cols_low(col-radius-1,:);
histogram_high=histogram_high+histogram_cols_high(col+radius,:)-histogram_cols_high(col-radius-1,:);
else
histogram_low(:,:)=0;
histogram_high(:,:)=0;
%行首手动初始化各列
for index=1:2*radius+1
histogram_cols_low(index,extendimg(row+radius,index)+1)=histogram_cols_low(index,extendimg(row+radius,index)+1)+1;
histogram_cols_low(index,extendimg(row-radius-1,index)+1)=histogram_cols_low(index,extendimg(row-radius-1,index)+1)-1;
histogram_cols_high(index,grayrange(extendimg(row+radius,index)+1))=histogram_cols_high(index,grayrange(extendimg(row+radius,index)+1))+1;
histogram_cols_high(index,grayrange(extendimg(row-radius-1,index)+1))=histogram_cols_high(index,grayrange(extendimg(row-radius-1,index)+1))-1;
histogram_low=histogram_low+histogram_cols_low(index,:);
histogram_high=histogram_high+histogram_cols_high(index,:);
end
end
%中值及之前的所有像素数
sumcnt=int16(0);
for gray_high=1:16
sumcnt=sumcnt+histogram_high(gray_high);
if (sumcnt>=thres)
break;
end
end
for gray_low=gray_high*16:-1:(gray_high-1)*16+1
sumcnt=sumcnt-histogram_low(gray_low);
if (sumcnt<thres)
break;
end
end
grayimg(row-radius-1,col-radius)=gray_low-1;
end
end
end
O(1)中值滤波
下面是两种算法的性能对比，可以发现，在滤波半径较小的时候，用Huang算法更好；当滤波半径>=8时，用后一种算法更快。实际中我们一般用不到大半径，但这两种
算法的思想很不错，尤其是第二种的空间换时间，我们可能可以发现横向存在重复性，但很容易忽略了纵向上的重复性。
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