1.混合高斯背景建模理论

混合高斯背景建模是基于像素样本统计信息的背景表示方法，利用像素在较长时间内大量样本值的概率密度等统计信息(如模式数量、每个模式的均值和标准差)表示背景，然后使用统计差分(如3σ原则)进行目标像素判断，可以对复杂动态背景进行建模，计算量较大。

在混合高斯背景模型中，认为像素之间的颜色信息互不相关，对各像素点的处理都是相互独立的。对于视频图像中的每一个像素点，其值在序列图像中的变化可看作是不断产生像素值的随机过程，即用高斯分布来描述每个像素点的颜色呈现规律{单模态(单峰)，多模态(多峰)}。

对于多峰高斯分布模型，图像的每一个像素点按不同权值的多个高斯分布的叠加来建模，每种高斯分布对应一个可能产生像素点所呈现颜色的状态，各个高斯分布的权值和分布参数随时间更新。当处理彩色图像时，假定图像像素点R、G、B三色通道相互独立并具有相同的方差。对于随机变量X的观测数据集{x1,x2,…,xN}，xt=(rt,gt,bt)为t时刻像素的样本，则单个采样点xt其服从的混合高斯分布概率密度函数：

其中k为分布模式总数，η(xt,μi,t,τi,t)为t时刻第i个高斯分布，μi,t为其均值，τi,t为其协方差矩阵，δi,t为方差，I为三维单位矩阵，ωi,t为t时刻第i个高斯分布的权重。

2.混合高斯背景建模算法流程

1.每个新像素值Xt同当前K个模型按下式进行比较，直接找到匹配新像素值的分布模型，即同该模型的均值偏差在2.5σ内：

2.如果所匹配的模式符合背景要求，则该像素属于背景，否则属于前景。

3.各个模式权值按如下方式进行更新，其中a是学习速率，对于匹配的模式Mk,t=1,否则Mk,t=0，然后各模式的权重进行归一化：

4.未匹配模式的均值μ和标准差σ不变，匹配模式的参数按照如下更新：

5.如果，第一步中没有任何模式匹配，则权重最小的模式被替换，即该模式的均值为当前像素值，标准差为初始较大值，权重为较小值。

6.各模式根据w/a^2按降序排列，权重大、标准差小的模式排列在前。

7.选前B个模式作为背景，B满足下式，参数T表示背景所占的比例：

3.MATLAB仿真与实践

%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Author: Ziheng H. Shen @Tsinghua Univ.
%HybridGaussModel @Digital Image Process Practice
%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clc;
clear all;
cntFrame = 23;
obj = VideoReader(‘768x576.avi‘);
numFrames = obj.NumberOfFrames;
 for k = 1 : cntFrame
     frame = read(obj,k);
      imwrite(frame,...
          strcat(‘C:\Users\Zi-Heng Shen\Documents\MATLAB\BackGroundModel\混合高斯背景建模\‘,...
          num2str(k),‘.bmp‘),‘bmp‘);
 end
%% 参数定义及初始化
I = imread(‘1.bmp‘);                    %读入第一帧作为背景帧
fr_bw = I;
[height,width] = size(fr_bw);           %求每帧图像大小
width = width/3;                        %排除颜色通道数
fg = zeros(height, width);              %定义前景和背景矩阵
bg_bw = zeros(height, width);

C = 3;                                  % 单高斯模型的个数(通常为3-5)
M = 3;                                  % 代表背景的模型个数
D = 2.5;                                % 偏差阈值
alpha = 0.01;                           % 学习率
thresh = 0.25;                          % 前景阈值
sd_init = 15;                           % 初始化标准差
w = zeros(height,width,C);              % 初始化权重矩阵
mean = zeros(height,width,C);           % 像素均值
sd = zeros(height,width,C);             % 像素标准差
u_diff = zeros(height,width,C);         % 像素与某个高斯模型均值的绝对距离
p = alpha/(1/C);                        % 初始化p变量，用来更新均值和标准差
rank = zeros(1,C);                      % 各个高斯分布的优先级（w/sd)

pixel_depth = 8;                        % 每个像素8bit分辨率
pixel_range = 2^pixel_depth -1;         % 像素值范围[0,255]

for i=1:height
    for j=1:width
        for k=1:C
            mean(i,j,k) = rand*pixel_range;     %初始化第k个高斯分布的均值
            w(i,j,k) = 1/C;                     % 初始化第k个高斯分布的权重
            sd(i,j,k) = sd_init;                % 初始化第k个高斯分布的标准差
        end
    end
end

for n = 1:cntFrame
    frame=strcat(num2str(n),‘.bmp‘);
    I1 = imread(frame);  % 依次读入各帧图像
    fr_bw = I1;
    % 计算新像素与第m个高斯模型均值的绝对距离
    for m=1:C
        u_diff(:,:,m) = abs(double(fr_bw(:,:,m)) - double(mean(:,:,m)));
    end
    % 更新高斯模型的参数
    for i=1:height
        for j=1:width
            match = 0;                                       %匹配标记;
            for k=1:C
                if (abs(u_diff(i,j,k)) <= D*sd(i,j,k))       % 像素与第k个高斯模型匹配
                    match = 1;                               %将匹配标记置为1
                    % 更新权重、均值、标准差、p
                    w(i,j,k) = (1-alpha)*w(i,j,k) + alpha;
                    p = alpha/w(i,j,k);
                    mean(i,j,k) = (1-p)*mean(i,j,k) + p*double(fr_bw(i,j));
                    sd(i,j,k) =   sqrt((1-p)*(sd(i,j,k)^2) + p*((double(fr_bw(i,j)) - mean(i,j,k)))^2);
                else                                         % 像素与第k个高斯模型不匹配
                    w(i,j,k) = (1-alpha)*w(i,j,k);           %略微减少权重
                end
            end
            bg_bw(i,j)=0;
            for k=1:C
                bg_bw(i,j) = bg_bw(i,j)+ mean(i,j,k)*w(i,j,k);
            end
            % 像素值与任一高斯模型都不匹配，则创建新的模型
            if (match == 0)
                [min_w, min_w_index] = min(w(i,j,:));      %寻找最小权重
                mean(i,j,min_w_index) = double(fr_bw(i,j));%初始化均值为当前观测像素的均值
                sd(i,j,min_w_index) = sd_init;             %初始化标准差为6
            end
            rank = w(i,j,:)./sd(i,j,:);                    % 计算模型优先级
            rank_ind = [1:1:C];%优先级索引
            % 计算前景
            fg(i,j) = 0;
            while ((match == 0)&&(k<=M))
                    if (abs(u_diff(i,j,rank_ind(k))) <= D*sd(i,j,rank_ind(k)))% 像素与第k个高斯模型匹配
                        fg(i,j) = 0; %该像素为背景，置为黑色
                    else
                        fg(i,j) = 255;    %否则为前景，置为白色
                    end
                k = k+1;
            end
        end
    end
    figure(n)
    subplot(1,3,1),imshow(fr_bw);               %显示最后一帧图像
    subplot(1,3,2),imshow(uint8(bg_bw))         %显示背景
    disk = strel(‘disk‘,1);disk1 = strel(‘disk‘,4);
    subplot(1,3,3),imshow(imdilate(imerode(uint8(fg),disk),disk1));   %显示前景
end

输出结果：

代码及结果引用请标注：Ziheng H. Shen @Graduate School of Tsinghua Univ.