3D数学读书笔记——矩阵进阶

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终于要学习矩阵的平移了,通过平移可以处理很多问题,包括非坐标轴基准的变换问题,不同坐标系转换问题。嘿嘿!

行列式(其实行列式就是一种计算法则)

在任意矩阵中都存在一个标量,称作该方阵的行列式

方阵M的行列式记作 |M| 或 det M 。非方阵矩阵的行列式是未定义的。

2 * 2阶矩阵行列式的定义

3 * 3阶矩阵行列式的定义

ps:(1)矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积 |AB| = |A||B|

(2)矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式 

(3)如果矩阵的任意行或列全为零,那么它的行列式等于零。

(4)交换矩阵的任意两行或两列,行列式变负。

(5)任意行或者列的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的值。

矩阵的行列式有着非常有趣的几何解释

2D中,行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积。3D中,行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号体积

行列式和矩阵变换导致相关的尺寸改变。其中行列式的绝对值和面积(2D)、体积(3D)的改变相关。行列式的符号说明了变换矩阵是否包含镜像投影

矩阵的行列式还能对矩阵所代表的的变换经行分类。如果矩阵行列式为,那么该矩阵包含投影。如果矩阵行列式为,那么该矩阵包含镜像

矩阵的逆

矩阵的逆是矩阵的一种重要的运算,这种运算只能适用方阵

方阵M的逆,记作,也是一个矩阵,当M与相乘时,结果是单位矩阵

并非所有的矩阵都有逆矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵,那么称它为可逆的非奇异的。如果一个矩阵没有逆矩阵,则称它为不可逆的奇异矩阵奇异矩阵的行列式为零,非奇异矩阵的行列式不为零,所以检测行列式的值是判断矩阵是否可逆的有效方法。

ps:(1) 如果M是非奇异矩阵,则该矩阵的逆的逆等于原矩阵  

(2) 单位矩阵的逆就是它本身。

(3) 矩阵转置的逆等于它的逆的转置 

矩阵的逆在几何上非常有用,因为它使得我们可以计算变换的“反向”或“相反”变换——能“撤销”原始变换的变换,所有如果向量v用矩阵M来进行变换,接着用M的逆进行变换,将会得到原向量。

正交矩阵

当方阵M与它的转置的乘积等于单位矩阵,方阵M就是正交的

如果一个矩阵是正交的,那么它的转置等于它的逆,我们可以用这个规律来检测矩阵的正交性

ps:这条性质非常有用,因为实际应用中经常需要计算矩阵的逆,而3D图形计算中正交矩阵出现得又是如此频繁,这条性质可以大大的减少计算量。

4 x 4齐次矩阵

在4D齐次空间中,4D向量有4个分量,前3个是标准的x,y和z分量,第四个是w,有时称作齐次坐标

加入了w分量,我们就可以利用这个分量来进行3D平移了。

4D向量中的w分量还起到了“开关”4x4矩阵平移部分的作用。

这个现象是非常有用的,因为有些向量代表“位置”,应当平移,而有些向量代表“方向”不应该平移。从几何意义上讲,能将第一类数据当作点,第二类数据当作向量。

-End-

参考文献:(1)《3D Math Primer for Graphics and Game Development》

(2)百度百科

3D数学读书笔记——矩阵进阶

时间: 2024-10-15 12:02:51

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