支配集,点覆盖集,点独立集之间的联系

1.设无向图G(u,v)中无鼓励顶点,则G的极大点独立集都是G的极小支配集。逆命题不成立

理解:设V*为G的一个极大点独立集,那么对于那些不属于V*的点,他们肯定跟V*里的某个点相连(否则就不是极大了),因此V*肯定是个支配集。而又因为V*里,所有的点都是独立的,所以,把任何一个点拿出V*后,该点跟V*中剩余的所有的点都没法相连,即无法被支配。故在该条件下V*为极小支配集。

2 一个独立集是极大独立集,当且仅当它是一个支配集。

理解:设V*为G的一个极大点独立集,那么对于那些不属于V*的点,他们肯定跟V*里的某个点相连(否则就不是极大了),因此V*肯定是个支配集。

3 设无向图G(V,E)中无孤立点,顶点集合V*被包含于V,则V*是G的点覆盖,当且仅当V-V*是G的点独立集。

理解:设T为V-V*(即V*关于V的补集),那么,若T为点独立集,则说明,没有某条边的两个相关点都属于T,故所有的边的两个相关点中,至少有一个属于T的补集,即V*。则V*为G的点覆盖集。 反过来,若V*是G的点覆盖,则说明,所有的边的两个相关点中,至少有一个属于V*,因而在T中,不可能存在两个相邻的点,即T为点独立集。

推论:设G是n阶无孤立点的图,则V*是G的极小(最小)点覆盖,当且仅当V-V*是G的极大(最大)点独立集,从而有:点覆盖数+点独立数=n。

4 二部图的最小点覆盖=最大匹配

理解:因为我们要尽可能用少的点去覆盖所有的边,所以,对于二分图的x部,y部中的任意一部而言,一条边尽可能少的跟点相连(对于任意一部,最好只跟一个点相连),那么这就是匹配问题了。但是我们又要把所有的边都覆盖进去,所以要求最大匹配,而当我们求得最大匹配后,其他边都能被最大匹配的点覆盖(若存在不能被覆盖的边,那么就不是最大匹配了)。

支配集,点覆盖集,点独立集之间的联系

时间: 2024-11-13 06:58:12

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