013--Floyd算法-动态规划-《算法设计技巧与分析》M.H.A学习笔记

多源最短路：有向图，求从每个顶点到其他所有顶点的最短距离。

基本思路：

假设有向图的所有点编号为1到n，l[i,j]表示从i到j的边的长度，如果不存在边，则置为正无穷。

定义d(k,i,j)表示从点i到点j，并且不经过编号大于k的点的最短距离。

初始化条件：

K=0时，d(0,i,j)=l[i,j]。

状态转移方程：

d(k,i,j)=min{ d(k-1,i,j)，d(k-1,i,k)+d(k-1,k,j) }   1<=k<=n

于是我们有如下的递归式：

算法分析：

显然，Floyd算法的时间复杂度是Θ(n³)，空间复杂度是Θ(n²)。

伪代码：

C++代码：

for( int k = 1; k <= n; ++k )
  for( int i = 1; i <= n; ++i )
    for( int j = 1; j <= n; ++j )
      d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);