例如：输入1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3，4。
思路1：最容易想到的方法：先对这个序列从小到大排序，然后输出前面的最小的k个数即可。如果选择快速排序法来进行排序，则时间复杂度：O（n*logn）
注：针对不同问题我们应该给出不同的思路，如果在应用中这个问题的规模不大，或者求解前k个元素的频率很高，或者k是不固定的。那么我们花费较多的时间对问题排序，在以后是使用中可以线性时间找到问题的解，总体来说，那么思路一的解法是最优的。
思路2：在思路1的基础上更进一步想想，题目并没有要求要查找的k个数，甚至后n-k个数是有序的，既然如此，咱们又何必对所有的n个数都进行排序列?如此，我们能想打的一个方法是：遍历n个数，先把最先遍历到得k个数存入大小为k的数组之中，对这k个数，利用选择或交换排序，找到k个数中的最大数kmax（kmax设为k个元素的数组中最大元素），用时O（k）（你应该知道，插入或选择排序查找操作需要O（k）的时间），后再继续遍历后n-k个数，x与kmax比较：如果x<kmax，则x代替kmax，并再次重新找出k个元素的数组中最大元素kmax‘；如果x>kmax，则不更新数组。这样，每次更新或不更新数组的所用的时间为O（k）或O（0），整趟下来，总的时间复杂度平均下来为：n*O（k）=O（n*k）
思路3：与思路2方法类似，只是用容量为k的最大堆取代思路2中数组的作用（从数组中找最大数需要O(k)次查找，而从更新一个堆使之成为最大堆只需要O(logk)次操作）。具体做法如下：用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数，并假设它们即是最小的k个数，建堆费时O（k）后，有k1<k2<…<kmax（kmax设为大顶堆中最大元素）。继续遍历数列，每次遍历一个元素x，与堆顶元素比较，x<kmax，更新堆（用时logk），否则不更新堆。这样下来，总费时O（k+（n-k）*logk）=O（n*logk）。
思路4：按编程之美中给出的描述，类似快速排序的划分方法，N个数存储在数组S中，再从数组中随机选取一个数X（随机选取枢纽元，可做到线性期望时间O（N）的复杂度），把数组划分为Sa和Sb俩部分，Sa<=X<=Sb，如果要查找的k个元素小于Sa的元素个数，则返回Sa中较小的k个元素，否则返回Sa中所有元素+Sb中小的k-|Sa|个元素。像上述过程一样，这个运用类似快速排序的partition的快速选择SELECT算法寻找最小的k个元素，在最坏情况下亦能做到O（N）的复杂度。oh，太酷了，有没有！
思路5：仍然用到数据结构：堆。具体做法为：针对整个数组序列建最小堆，建堆所用时间为O（n），然后取堆中的前k个数，总的时间复杂度即为：O（n+k*logn）。
思路6：与上述思路5类似，不同的是在对元素数组原地建最小堆O(n)后，然后提取K次，但是每次提取时，换到顶部的元素只需要下移顶多k次就足够了，下移次数逐次减少（而上述思路5每次提取都需要logn，所以提取k次，思路5需要k*logn。而本思路只需要K^2）。此种方法的复杂度为O(n+k^2)。此方法可能不太直观，一个更直观的理解是：每次取出堆顶元素后，最小堆的性质被破坏了，我们需要调整最小堆使之满足最小堆的性质。由于我们只需要求取前k个数，我们无需将整个堆都完整的调整好，只需保证堆的最上面k个数是最小的就可以，即第一趟调整保持第0层到第k层是最小堆，第二趟调整保持第0层到第k-1层是最小堆…，依次类推。
几个简单的提取前k个元素，竟然可以有这么多的思路来实现，复杂度逐渐降低，感觉是多么酷的一件事情啊。
下面给出思路三和思路四的参考代码（这些代码都凝结了快速排序和堆排序的思想，所以说之前的算法实用，主要是思想）：
思路三：
#include <stdio.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define PARENT(i) (i)/2
#define LEFT(i) 2*(i)+1
#define RIGHT(i) 2*(i+1)
void swap(int *a,int *b)
{
*a=*a^*b;
*b=*a^*b;
*a=*a^*b;
}
void max_heapify(int *arr,int index,int len)//建立大顶堆的过程，求前k个最小，要健最大堆
{
int l=LEFT(index);//所有操作类似于堆排序
int r=RIGHT(index);
int largest;
if(l<len && arr[l]>arr[index])
largest=l;
else
largest=index;
if(r<len && arr[r]>arr[largest])
largest=r;
if(largest != index){//将最大元素提升，并递归
swap(&arr[largest],&arr[index]);
max_heapify(arr,largest,len);//递归
}
}
void build_maxheap(int *arr,int len)//开始建立大顶堆是必须的
{
int i;
if(arr==NULL || len<=1)
return;
for(i=len/2+1;i>=0;--i)
max_heapify(arr,i,len);
}
void k_min(int *arr,int len,int k)
{
int i;
build_maxheap(arr,k);
for (i = k;i < len;i++)
{
if (arr[i] < arr[0])//就是这一个地方跟堆排序不一样，这里只是交换比堆顶大的元素。
{
arr[0] = arr[i];
max_heapify(arr,0,k);
}
}
}
/*
void heap_sort(int *arr,int len)//这是堆排序的主函数
{
int i;
if(arr==NULL || len<=1)
return;
build_maxheap(arr,len);
for(i=len-1;i>=1;--i){
swap(&arr[0],&arr[i]);
max_heapify(arr,0,--len);
}
}
*/
int main()
{
int arr[10]={91,8,6,82,15,18,7,46,29,12};
int i;
k_min(arr,10,4);
for(i=0;i<10;++i)//只需要输出前k个元素即可。
printf("%d ",arr[i]);
system("pause");
}
思路四的实现：
Kbig(S, k):
if(k <= 0):
return [] // 返回空数组
if(length S <= k):
return S
(Sa, Sb) = Partition(S)
return Kbig(Sa, k).Append(Kbig(Sb, k – length Sa)
Partition(S):
Sa = [] // 初始化为空数组
Sb = [] // 初始化为空数组
Swap(s[1], S[Random()%length S]) // 随机选择一个数作为分组标准，以
// 避免特殊数据下的算法退化，也可
// 以通过对整个数据进行洗牌预处理
// 实现这个目的
p = S[1]
for i in [2: length S]:
S[i] > p ? Sa.Append(S[i]) : Sb.Append(S[i])
// 将p加入较小的组，可以避免分组失败，也使分组
// 更均匀，提高效率
length Sa < length Sb ? Sa.Append(p) : Sb.Append(p)
return (Sa, Sb)
下面是代码实现：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
void swap(int *a,int *b)
{ *a=*a^*b;
*b=*a^*b;
*a=*a^*b;
}
/*
为了简单起见，这里只是单纯的选取第一个元素作为枢纽元素。这样选取枢纽，就难避免使得算法容易退化。
*/
int k_big(int arr[],int low,int high,int k)
{
int pivot = arr[low];//pivot的选择可以更优
int high_tmp = high;
int low_tmp = low;
while(low < high){
//从右向左查找，直到找到第一个小于枢纽元素为止
while (low < high && arr[high] >= pivot)
{
--high;
}
arr[low] = arr[high];
//从左向右查找，直到找到第一个大于枢纽元素为止
while (low < high && arr[low] <= pivot)
{
++low;
}
arr[high] = arr[low];
}
arr[low] = pivot;//这里low == high
if (low == k - 1)//正好取到了第k个值
{
return arr[low];
}else if(low > k - 1)//前k个值在low前面的子数组中
{
return k_big(arr,low_tmp,low-1,k);
}else//前low个数值已经是前k个数值，后k-low个在后半部分中
{
return k_big(arr,low+1,high_tmp,k);
}
}
int main()
{
int arr[10]={-91,0,6,82,15,18,7,46,-29,12};
int i;
k_big(arr,0,9,4);
for(i=0;i<10;++i)
printf("%d ",arr[i]);
system("pause");
}
下面是《算法设计与分析》书中给出的一种思路，源码如下：
//QuickSelect 将第k小的元素放在 a[k-1]
void QuickSelect( int a[], int k, int left, int right )
{
int i, j;
int pivot;
if( left + cutoff <= right )
{
pivot = median3( a, left, right );
//取三数中值作为枢纽元，可以很大程度上避免最坏情况
i = left; j = right - 1;
for( ; ; )
{
while( a[ ++i ] < pivot ){ }
while( a[ --j ] > pivot ){ }
if( i < j )
swap( &a[ i ], &a[ j ] );
else
break;
}
//重置枢纽元
swap( &a[ i ], &a[ right - 1 ] );
if( k <= i )
QuickSelect( a, k, left, i - 1 );
else if( k > i + 1 )
QuickSelect( a, k, i + 1, right );
}
else
InsertSort( a + left, right - left + 1 );
}
这个快速选择SELECT算法，类似快速排序的划分方法。N个数存储在数组S中，再从数组中选取“中位数的中位数”作为枢纽元X，把数组划分为Sa和Sb俩部分，Sa<=X<=Sb，如果要查找的k个元素小于Sa的元素个数，则返回Sa中较小的k个元素，否则返回Sa中所有元素+Sb中小的k-|Sa|个元素，这种解法在平均情况下能做到 O（N） 的复杂度。
下面是算法导论中给出的一种方法：
《算法导论》介绍了一个随机选取主元的选择算法RANDOMIZED-SELECT。它每次都是随机选取数列中的一个元素作为主元，在 O（n） 的时间内找到第k小的元素，然后遍历输出前面的k个小的元素。平均时间复杂度： O（n+k）=O（n） （当k比较小时）。
我们知道，快速排序是以固定的第一个或最后一个元素作为主元，每次递归划分都是不均等的，最后的平均时间复杂度为： O（n*logn） 。而RANDOMIZED-SELECT与普通的快速排序不同，它每次递归都是随机选择序列，从第一个到最后一个元素中任一一个作为主元。
下面是RANDOMIZED-SELECT(A, p, r)完整伪码：
PARTITION(A, p, r) //partition过程 p为第一个数，r为最后一个数
x ← A[r] //以最后一个元素作为主元
i ← p - 1
for j ← p to r - 1
do if A[j] ≤ x
then i ← i + 1
exchange A[i] <-> A[j]
exchange A[i + 1] <-> A[r]
return i + 1
RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r) //随机快排的partition过程
i ← RANDOM(p, r) //i 随机取p到r中个一个值
exchange A[r] <-> A[i] //以随机的 i作为主元
return PARTITION(A, p, r) //调用上述原来的partition过程
RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i) //以线性时间做选择，目的是返回数组A[p..r]中的第i 小的元素
if p = r //p=r，序列中只有一个元素
then return A[p]
q ← RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r) //随机选取的元素q作为主元
k ← q - p + 1 //k表示子数组 A[p…q]内的元素个数，处于划分低区的元素个数加上一个主元元素
if i == k //检查要查找的i 等于子数组中A[p....q]中的元素个数k
then return A[q] //则直接返回A[q]
else if i < k
then return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q - 1, i)
//得到的k 大于要查找的i 的大小，则递归到低区间A[p，q-1]中去查找
else return RANDOMIZED-SELECT(A, q + 1, r, i - k)
//得到的k 小于要查找的i 的大小，则递归到高区间A[q+1，r]中去查找。
也就是线性查找算法：
算法步骤：
1. 将n个元素每5个一组，分成n/5(上界)组。
2. 取出每一组的中位数，任意排序方法，比如插入排序。
3. 递归的调用selection算法查找上一步中所有中位数的中位数，设为x，偶数个中位数的情况下设定为选取中间小的一个。
4. 用x来分割数组，设小于等于x的个数为k，大于x的个数即为n-k。
5. 若i==k，返回x；若i<k，在小于x的元素中递归查找第i小的元素；若i>k，在大于x的元素中递归查找第i-k小的元素。
终止条件：n=1时，返回的即是i小元素。
十大基础实用算法之寻找最小(最大)的k个数-线性查找算法