题目：

有n个物品的重量和价值分别为wi,vi,从中选取k个物品，使得单位重量的价值最大

样例：

输入：

n=3

k=2

(w,v)={ (2 , 2) , (5 , 3) , (2 , 1) }

输出

0.75（选0号和2号 ( 2 + 1)/( 2 + 2) = 0.75）

思路

首先想到的方法是先把物品按照单价排序，再从大到小进行选取。但是这样选出来的不一定是最优的，例如上面的案例，如果按照贪心算法 应该是选择 0号和1号， 结果为(2+3)/(2+5)=0.714。所以这个方法是不行的。

对于这个问题，使用二分搜索法可能很好的解决。我们定义：

条件C(x):=可以选择使得单位重量的价值不小于x

因此，原问题就变成了求满足C(x)的最大的x。

怎么判断C(x)是否可行呢？即判断是否

∑i∈kvi/∑i∈kwi≥x

把这个不等式变形就得到

∑i∈k(vi?x×wi)≥0

因此，原来的C(x):=vi?x×wi 从大到小排列，然后选出前k个的和大于等于0

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;

bool C(double x,int n,int k,int* w,int* v)
{
    //用于保存所有vi-x*wi
    double y[n];
    for(int i=0;i<n;i++){
        y[i]=v[i]-x*w[i];
    }
    sort(y,y+n);
    //计算后k个到和是否大于0 （因为是按照升序排序的）
    double sum = 0;
    for(int i=0;i<k;i++){
        sum+=y[n-i-1];
    }
    return sum>=0;
}

int main()
{
    int n,k;
    int max_value=0;
    cout<<"n = ";
    cin>>n;
    cout<<"k = ";
    cin>>k;
    int *w=new int[n];
    int *v=new int[n];
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>w[i];
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>v[i];
        if(max_value<v[i])
            max_value=v[i];
    }

    double lb=0,ub=max_value;
    for(int i=0;i < 100;i++){
        double mid=(lb + ub )/2;
        if(C(mid,n,k,w,v))
            lb=mid;
        else
            ub=mid;
    }
    delete[] w,v;

    printf("%.2f\n",ub);

}

运行结果:

n = 3
k = 2
2 5 2
2 3 1
0.75