初等数学问题解答-5：一个Fermat方程的简化形式

本题适合初一以上数学爱好者解答。

问题：

已知 $x$, $y$, $z$, $n$ 均为正整数，且 $n \ge z$，证明：方程 $x^n + y^n = z^n$ 没有正整数解。

解答：

事实上Fermat大定理已经被英国数学家Andrew Wiles证明。本题是该定理的一个简化形式，具备初中数学知识即可顺利解决。

由已知，$x < z \le n$，$y < z \le n$，且 $x \ne y$ （否则 $2 \cdot x^n = z^n$ 无整数解）。

不失一般性，假设 $x < y$，因此有 $$z^n - y^n = (z - y)\left(z^{n-1} + yz^{n-2} + \cdots + y^{n-1}\right) \ge 1 \cdot nx^{n-1} > x^n.$$ 与已知 $x^n + y^n = z^n$ 矛盾。

Q$\cdot$E$\cdot$D

作者简介：

赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，原北京四中数学竞赛教练员，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。

主要研究方向包括：数学建模（机器学习算法）与数学奥林匹克教育（解题研究与教学法），以第一作者身份发表英文论文5篇。

在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。

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