【问题描述】
C国共有$n$个城市。有$n-1$条双向道路，每条道路连接两个城市，任意两个城市之间能互相到达。小R来到C国旅行，他共规划了$m$条旅行的路线， 第$i$条旅行路线的起点是$s_i$，终点是$t_i$。在旅行过程中，小R每行走一单位长度的路需要吃一单位的食物。C国的食物只能在各个城市中买到，而且不同城市的食物价格可能不同。
然而，小R不希望在旅行中为了购买较低价的粮食而绕远路，因此他总会选择最近的路走。现在，请你计算小R规划的每条旅行路线的最小花费是多少。
【输入格式】
第一行包含2个整数$n$和$m$。
第二行包含$n$个整数。第$i$个整数$w_i$表示城市$i$的食物价格。
接下来$n-1$行，每行包括3个整数$u, v, e$，表示城市$u$和城市$v$之间有一条长为$e$的双向道路。
接下来$m$行，每行包含2个整数$s_i$和$t_i$，分别表示一条旅行路线的起点和终点。
【输出格式】
输出$m$行，分别代表每一条旅行方案的最小花费。
【样例输入】
6 4
1 7 3 2 5 6
1 2 4
1 3 5
2 4 1
3 5 2
3 6 1
2 5
4 6
6 4
5 6
【样例输出】
35
16
26
13
【样例说明】
对于第一条路线，小R会经过2->1->3->5。其中在城市2处以7的价格购买4单位粮食，到城市1时全部吃完，并用1
的价格购买7单位粮食，然后到达终点。
【评测用例规模与约定】
前10%的评测用例满足：$n, m ≤ 20, w_i ≤ 20$；
前30%的评测用例满足：$n, m ≤ 200$；
另有40%的评测用例满足：一个城市至多与其它两个城市相连。
所有评测用例都满足：$1 ≤ n, m ≤ 10^5，1 ≤ w_i ≤ 10^6，1 ≤ e ≤ 10000$。
【题解】
首先注意到，一条路径的选择方案，一定是从一个点走到下一个比它便宜的点，这之间的食物都在这个点购买。
而这个信息不具有可加性，却具有可减性。
之前在网上搜到了一篇自称要维护两遍单调栈三个lct的博客，但是维护单调栈的最坏时间复杂度为$O(n^2)$，故无法通过所有的测试数据。
下面介绍一种基于点分治的做法。
假设当前分治中心为T，对于一个询问u->v,可以被拆成u->T,T->v，对于u->T的费用，我们可以在倍增数组上二分出u上面第一个比它便宜的位置，用这个位置的信息可以直接得出u的信息。
现在考虑T->v的费用，对于每一个询问，都附加了一个状态，表示之前便宜的费用c，我们需要在T->v的路径上找到第一个比它便宜的点设为x（这个可以通过dfs时维护一个前缀最小值数据来二分求得），这一段用的费用是dis(T, x) * c，剩下的部分就是从x向下走走到v的费用，我们可以通过dfs求出每个点到T的费用，之前已经提到过，维护的信息具有可见性，就可以$O(1)$的时间算出从一个点往下走的走到某个点的费用。
至此，问题在$O(n\log^2n)$的时间复杂度，$O(n\log n)$的空间复杂度内解决。
【代码】（滥用stl导致常数非常大）
1 #include<bits/stdc++.h>
2
3 using namespace std;
4
5 typedef long long LL;
6 typedef pair<int, int> pii;
7 #define FI first
8 #define SE second
9 #define for_edge(u, it) for(vector<pii>::iterator it = G[u].begin(); it != G[u].end(); ++it)
10
11 const int N = 100000 + 10;
12
13 vector<pii> G[N];
14 vector<int> Q[N], q1[N], q2[N];
15 LL dis[N], disv[N];
16 int cost[N], sz[N], maxsz[N], top[N], root;
17 pii q_info[N];
18 pair<LL, int> ans[N];
19 bool centre[N];
20
21 #define v it->FI
22 void get_size(int u, int fa) {
23 maxsz[u] = 0, sz[u] = 1;
24 for_edge(u, it) if(v != fa && !centre[v]) {
25 get_size(v, u);
26 sz[u] += sz[v];
27 maxsz[u] = max(maxsz[u], sz[v]);
28 }
29 }
30
31 void get_root(int u, int fa, int r) {
32 maxsz[u] = max(maxsz[u], sz[r] - sz[u]);
33 if(maxsz[u] < maxsz[root]) root = u;
34 for_edge(u, it) if(v != fa && !centre[v]) {
35 get_root(v, u, r);
36 }
37 }
38
39 int anc[17][N], val[17][N];
40
41 int tot_time;
42
43 void get_top(int u, int fa, int pre) {
44 anc[0][u] = fa, val[0][u] = cost[u];
45 int tmp = clock();
46 for(int i = 1; i < 17; i++) {
47 val[i][u] = min(val[i-1][u], val[i-1][anc[i-1][u]]);
48 anc[i][u] = anc[i-1][anc[i-1][u]];
49 }
50 tot_time += clock() - tmp;
51
52 top[u] = pre;
53 for_edge(u, it) if(v != fa && !centre[v]) {
54 dis[v] = dis[u] + it->SE, get_top(v, u, pre);
55 }
56 }
57
58 int pre[N];
59
60 int find(int u) {
61 int cost_u = cost[u];
62 //int tmp = clock();
63 for(int i = 16; i >= 0; i--) {
64 if(val[i][u] >= cost_u) u = anc[i][u];
65 }
66 //tot_time += clock() - tmp;
67 return u;
68 }
69
70 void calc_1(int u, int fa) {
71 int anc = find(u);
72
73 if(anc) pre[u] = pre[anc];
74 else anc = root, pre[u] = u; // be root when not exist
75 disv[u] = (dis[u] - dis[anc]) * cost[u] + disv[anc];
76
77 for(unsigned i = 0; i < q1[u].size(); i++) {
78 ans[q1[u][i]] = make_pair(disv[u], cost[pre[u]]);
79 }
80
81 for_edge(u, it) if(v != fa && !centre[v]) {
82 calc_1(v, u);
83 }
84
85 }
86
87 void calc_2(int u, int fa, int fee) {
88 static int val[N], id[N], tot;
89 disv[u] = (dis[u] - dis[fa]) * fee + disv[fa];
90 id[tot] = u, val[tot] = cost[u];
91 if(tot++) val[tot-1] = min(val[tot-2], cost[u]);
92
93 id[tot] = u; // be u when not exist
94 for(unsigned i = 0; i < q2[u].size(); i++) {
95 int c = q2[u][i];
96 int anc = id[lower_bound(val, val + tot, ans[c].SE, greater<int>()) - val];
97 ans[c].FI += ans[c].SE * (dis[anc] - dis[root]) + disv[u] - disv[anc];
98 }
99
100 for_edge(u, it) if(v != fa && !centre[v]) {
101 calc_2(v, u, min(fee, cost[u]));
102 }
103 --tot;
104 }
105
106 void solve(int u) {
107 if(!Q[u].size()) return;
108
109 get_size(u, 0);
110 root = u, get_root(u, 0, u);
111 //cerr << sz[u] << ‘ ‘ << maxsz[root] << endl;
112
113 vector<int> vec_q;
114 vec_q.swap(Q[u]);
115
116 centre[u = root] = 1, top[u] = u, dis[u] = 0;
117 for(int i = 0; i < 17; i++) anc[i][u] = val[i][u] = 0;
118 val[0][u] = cost[u];
119 for_edge(u, it) if(!centre[v]) {
120 dis[v] = it->SE, get_top(v, u, v);
121 }
122
123 for(unsigned i = 0; i < vec_q.size(); i++) {
124 int c = vec_q[i], x = q_info[c].FI, y = q_info[c].SE;
125 if(top[x] == top[y]) Q[top[x]].push_back(c);
126 else q1[x].push_back(c), q2[y].push_back(c);
127 }
128
129
130 disv[u] = 0, pre[u] = u;
131 calc_1(u, 0);
132
133 disv[u] = 0;
134 calc_2(root, 0, cost[u]);
135
136 for(unsigned i = 0; i < vec_q.size(); i++) {
137 int c = vec_q[i], x = q_info[c].FI, y = q_info[c].SE;
138 q1[x].clear(), q2[y].clear();
139 }
140
141 for_edge(u, it) if(!centre[v]) {
142 solve(v);
143 }
144 }
145 #undef v
146
147 int main() {
148 #ifdef DEBUG
149 freopen("in.txt", "r", stdin);
150 freopen("out.txt", "w", stdout);
151 int start_time = clock();
152 #endif
153
154 int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
155 for(int i = 1; i <= n; i++) {
156 scanf("%d", cost + i);
157 }
158 for(int i = 1; i < n; i++) {
159 int u, v, w;
160 scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
161 G[u].push_back(pii(v, w));
162 G[v].push_back(pii(u, w));
163 }
164
165 for(int i = 0; i < m; i++) {
166 pii &cur = q_info[i];
167 scanf("%d%d", &cur.FI, &cur.SE);
168 if(cur.FI != cur.SE) Q[1].push_back(i);
169 }
170
171 solve(1);
172
173 for(int i = 0; i < m; i++) {
174 printf("%I64d\n", ans[i].FI);
175 }
176 #ifdef DEBUG
177 fprintf(stderr, "time used : %.5fs, %.5fs\n", (double) (clock() - start_time) / CLOCKS_PER_SEC, (double)tot_time / CLOCKS_PER_SEC);
178 #endif
179 return 0;
180 }