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五边形数定理[编辑]

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性^[1] [2]。欧拉函数的展开式如下：

亦即

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。

其中符号为- - + + - - + + .....

若将上式视为幂级数，其收敛半径为1，不过若只是当作形式幂级数（formal
power series）来考虑，就不会考虑其收敛半径。

和分割函数的关系

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：

其中为k的分割函数。

上式配合五边形数定理，可以得到

考虑项的系数，在
n>0 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得

因此可得到分割函数p(n)的递归式

以n=10为例

知道这个定理的话，hdu 4651就可以直接套模板了

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define MP make_pair
#define LL long long
#define CLR(a, b) memset(a, b, sizeof(a))

using namespace std;

const int maxn = 100100;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL MOD = 1000000007;

int fiv[maxn];
LL p[maxn];

void init()
{
    int tot = 1;
    for(int i = 1; fiv[tot - 1] < maxn; i ++)///五边形数
    {
        fiv[tot ++] = i*(3*i-1)/2;
        fiv[tot ++] = i*(3*i+1)/2;
    }
    p[0] = 1;
    for(int i = 1; i < maxn; i ++)///i的分割数p(i)
    {
        p[i] = 0;int flag = 1;
        for(int j = 1; ; j ++)
        {
            if(fiv[j] <= i)
            {
                p[i] += flag * p[i - fiv[j]];
                p[i] = (p[i] % MOD + MOD) % MOD;
            }
            else break;
            if(j % 2 == 0) flag = -flag;
        }
    }
}

int main()
{
    int T, n;
    init();
    scanf("%d", &T);
    while(T --)
    {
        scanf("%d", &n);
        printf("%lld\n", p[n]);
    }
}

hdu 4651 Partition (利用五边形定理求解分割数),布布扣,bubuko.com