BZOJ 3456 城市规划 多项式求ln

题意:链接

方法:多项式求ln

解析:

毒瘤题的倒数第二个- -!

md毒瘤题都做完后再回来写题解真是爽歪歪

先看这道题怎么做。

首先一个简单无向图的边的个数是C(n,2)，然后那么我们的选择就有2C(n,2)种。

然后我们再考虑简单无向连通图的方案数为fi。

f[i]=2C(i,2)?∑i?1j=1f[j]?C(i?1,j?1)?2C(i?j,2)

上面的式子其实没啥卵用…

现在我们这么来考虑。

看如上大爷给出的PPT。

其实这个正体现了划分和被划分的关系。

对于简单无向图来说，简单无向连通图就是简单无向图的一个划分。

所以搞出来简单无向图的指数级生成函数。

G(x)=∑∞i=02C(i,2)?xii!

然后再搞出来简单无向连通图的指数级生成函数。

F(x)=∑∞i=0fi?xii!

于是有

G(x)=eF(x)

故F(x)=ln(G(x))

简单求个ln即可辣。

ln怎么求呢？

求导O(n),积分O(n)。

求逆O(nlogn)

总复杂度T(n)=T(n/2)+O(nlogn)=O(nlogn)

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 262144
#define mod 1004535809
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll Factor[N],Inv_Fac[N];
ll G[N],inv_G[N],dao_G[N];
int rev[N];
ll Quick_Power(ll x,ll y,ll MOD)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=(ret*x)%MOD;
        x=(x*x)%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
void init()
{
    Factor[0]=1,Inv_Fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        Factor[i]=Factor[i-1]*i%mod;
        Inv_Fac[i]=Quick_Power(Factor[i],mod-2,mod);
    }
}
void NTT(ll *a,int n,int f)
{
    for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int h=2;h<=n;h<<=1)
    {
        ll wn=Quick_Power(3,(mod-1)/h,mod);
        for(int i=0;i<n;i+=h)
        {
            ll w=1;
            for(int j=0;j<(h>>1);j++,w=w*wn%mod)
            {
                ll t=a[i+j+(h>>1)]*w%mod;
                a[i+j+(h>>1)]=((a[i+j]-t)%mod+mod)%mod;
                a[i+j]=(a[i+j]+t)%mod;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
    {
        for(int i=1;i<(n>>1);i++)swap(a[i],a[n-i]);
        ll inv=Quick_Power(n,mod-2,mod);
        for(int i=0;i<n;i++)a[i]=a[i]*inv%mod;
    }
}
void Get_Inv(ll *a,ll *b,int n)
{
    static ll temp[N];
    if(n==1)
    {
        b[0]=Quick_Power(a[0],mod-2,mod);
        return ;
    }
    Get_Inv(a,b,n>>1);
    memcpy(temp,a,sizeof(a[0])*n);
    memset(temp+n,0,sizeof(a[0])*n);
    int m=n,L=0,nn=n;
    for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;
    for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    NTT(temp,n,1),NTT(b,n,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        temp[i]=b[i]*(((2ll-temp[i]*b[i]%mod)%mod+mod)%mod)%mod;
    NTT(temp,n,-1);
    for(int i=0;i<(n>>1);i++)b[i]=temp[i];
    memset(b+nn,0,sizeof(b[0])*nn);
    n=nn;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    init();
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i<2)G[i]=1;
        else G[i]=Quick_Power(2,(long long)i*(i-1)/2,mod)*Inv_Fac[i]%mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        dao_G[i-1]=G[i]*i%mod;
    }
    dao_G[n]=0;
    int l;
    for(l=1;l<=n;l<<=1);
    Get_Inv(G,inv_G,l);
    int m=n,L=0;
    for(n=1;n<=m;n<<=1)L++;
    for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    NTT(dao_G,n,1),NTT(inv_G,n,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
        dao_G[i]=(inv_G[i]*dao_G[i])%mod;
    NTT(dao_G,n,-1);
    printf("%lld\n",(dao_G[m-1]*Quick_Power(m,mod-2,mod)%mod)*Factor[m]%mod);
}

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。