一道求三元函数在空间区域上平均值的题目

求函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$在区域$\Omega: x^2+y^2+z^2\leqslant x+y+z$内的平均值.

解: 所求平均值可以通过函数在区域内的积分除以区域体积来计算.
此区域形状不容易直接看出, 稍作变形即可得到区域$\Omega$的刻画为
\[
(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2+(z-\frac{1}{2})^2\leqslant\frac{3}{4}.
\]

区域$\Omega$为一个球体, 易知体积为$\frac{\sqrt{3}\pi}{2}$.
为计算函数的积分, 作如下积分变量替换:
\begin{align*}
x= & \frac{1}{2}+r\sin\varphi\cos\theta, \\
y= & \frac{1}{2}+r\sin\varphi\sin\theta, \\
z= & \frac{1}{2}+r\cos\varphi,
\end{align*}
计算出
\[
J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,\theta)}=r^2\sin\varphi.
\]

计算函数积分如下:
\begin{align*}
I= & \iiint_\Omega(x^2+y^2+z^2){\rm d}V \\
= & \int_{0}^{2\pi}{\rm d}\theta\int_{0}^{\pi}{\rm d}\varphi\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}
\big[(\frac{1}{2}+r\sin\varphi\cos\theta)^2+(\frac{1}{2}+r\sin\varphi\sin\theta)^2
+(\frac{1}{2}+r\cos\varphi)^2\big]|J|{\rm d}r{\rm d}\varphi{\rm d}\theta\\
= & \int_{0}^{2\pi}{\rm d}\theta\int_{0}^{\pi}{\rm d}\varphi\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}
\big[\frac{3}{4}+r\sin\varphi\cos\theta+r\sin\varphi\sin\theta+r\cos\varphi+r^2\big]
r^2\sin\varphi{\rm d}r{\rm d}\varphi{\rm d}\theta\\
= & \frac{\sqrt{3}\pi}{5}.
\end{align*}

因此所求平均值为
\[
\frac{\frac{\sqrt{3}\pi}{5}}{\frac{\sqrt{3}\pi}{2}}=\frac{2}{5}.
\]