2324: [ZJOI2011]营救皮卡丘
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Description
皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了！这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅！为了皮卡丘，也为了正义，小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。
火箭队一共有N个据点，据点之间存在M条双向道路。据点分别从1到N标号。小智一行K人从真新镇出发，营救被困在N号据点的皮卡丘。为了方便起见，我们将真新镇视为0号据点，一开始K个人都在0号点。
由于火箭队的重重布防，要想摧毁K号据点，必须按照顺序先摧毁1到K-1号据点，并且，如果K-1号据点没有被摧毁，由于防御的连锁性，小智一行任何一个人进入据点K，都会被发现，并产生严重后果。因此，在K-1号据点被摧毁之前，任何人是不能够经过K号据点的。
为了简化问题，我们忽略战斗环节，小智一行任何一个人经过K号据点即认为K号据点被摧毁。被摧毁的据点依然是可以被经过的。
K个人是可以分头行动的，只要有任何一个人在K-1号据点被摧毁之后，经过K号据点，K号据点就被摧毁了。显然的，只要N号据点被摧毁，皮卡丘就得救了。
野外的道路是不安全的，因此小智一行希望在摧毁N号据点救出皮卡丘的同时，使得K个人所经过的道路的长度总和最少。
请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧！
Input
第一行包含三个正整数N，M，K。表示一共有N+1个据点，分别从0到N编号，以及M条无向边。一开始小智一行共K个人均位于0号点。
接下来M行，每行三个非负整数，第i行的整数为Ai，Bi，Li。表示存在一条从Ai号据点到Bi号据点的长度为Li的道路。
Output
仅包含一个整数S，为营救皮卡丘所需要经过的最小的道路总和。
Sample Input
3 4 2
0 1 1
1 2 1
2 3 100
0 3 1
Sample Output
3
【样例说明】
小智和小霞一起前去营救皮卡丘。在最优方案中，小智先从真新镇前往1号点，接着前往2号据点。当小智成功摧毁2号据点之后，小霞从真新镇出发直接前往3号据点，救出皮卡丘。
HINT
对于100%的数据满足N ≤ 150, M ≤ 20 000, 1 ≤ K ≤ 10, Li ≤ 10 000, 保证小智一行一定能够救出皮卡丘。至于为什么K ≤ 10，你可以认为最终在小智的号召下，小智，小霞，小刚，小建，小遥，小胜，小光，艾莉丝，天桐，还有去日本旅游的黑猫警长，一同前去大战火箭队。
Source
【思路】
Floyd+费用流。
题目条件：1 每个点都必须经过 ， 2 经过j时必须已经经过了0..j-1
利用floyd求出对点之间的最短距，转化为DAG即保证条件2。求DAG上至多不超过k条的覆盖路。
构图：每个点建立XY结点，连边(S,0,K,0)(S,Xi,1,0)(Yi,T,1,0)，如果DAG上i,j之间有边，则连边(Xi,Yj,1,d[i][j])。
【代码】
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<queue>
4 #include<vector>
5 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
6 using namespace std;
7
8 typedef long long LL ;
9 const int maxn = 800+10;
10 const int INF = 1e9;
11
12 struct Edge{ int u,v,cap,flow,cost;
13 };
14 struct zkw {
15 int n,m,s,t;
16 int vis[maxn],d[maxn];
17 vector<int> G[maxn];
18 vector<Edge> es;
19
20 void init(int n) {
21 this->n=n;
22 es.clear();
23 for(int i=0;i<n;i++) G[i].clear();
24 }
25 void AddEdge(int u,int v,int cap,int cost) {
26 es.push_back((Edge){u,v,cap,0,cost});
27 es.push_back((Edge){v,u,0,0,-cost});
28 m=es.size();
29 G[u].push_back(m-2);
30 G[v].push_back(m-1);
31 }
32 bool spfa() {
33 memset(vis,0,sizeof(vis));
34 for(int i=0;i<n;i++) d[i]=INF;
35 queue<int> q;
36 d[t]=0 , vis[t]=1 , q.push(t);
37 while(!q.empty()) {
38 int u=q.front(); q.pop() , vis[u]=0;
39 for(int i=0;i<G[u].size();i++) {
40 Edge& e=es[G[u][i]];
41 int v=e.v;
42 if(es[G[u][i]^1].cap && d[v]>d[u]-e.cost) {
43 d[v]=d[u]-e.cost;
44 if(!vis[v]) {
45 vis[v]=1;
46 q.push(v);
47 }
48 }
49 }
50 }
51 return d[s]!=INF;
52 }
53 int dfs(int u,int a,LL& cost) {
54 vis[u]=1; if(u==t) return a;
55 int used=0,w;
56 for(int i=0;i<G[u].size();i++) {
57 Edge& e=es[G[u][i]];
58 int v=e.v;
59 if(d[u]-e.cost==d[v] && !vis[v] && e.cap) {
60 w=dfs(v,min(a-used,e.cap),cost);
61 cost+=w*e.cost;
62 e.cap-=w , es[G[u][i]^1].cap+=w;
63 used+=w; if(used==a) return a;
64 }
65 }
66 return used;
67 }
68 int Mincost(int s,int t,LL& cost) {
69 this->s=s , this->t=t;
70 int flow=0; cost=0;
71 while(spfa()) {
72 vis[t]=1;
73 while(vis[t]) {
74 memset(vis,0,sizeof(vis));
75 flow+=dfs(s,INF,cost);
76 }
77 }
78 return flow;
79 }
80 } mc;
81
82 int n,m,K;
83 int d[maxn][maxn];
84
85 int main() {
86 scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
87 mc.init(n+n+4);
88 int s=n+n+2,t=s+1;
89 int u,v,w;
90 FOR(i,0,n) FOR(j,0,n) d[i][j]=INF;
91 FOR(i,1,m) {
92 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
93 d[u][v]=d[v][u]=min(d[u][v],w); //重边
94 }
95 FOR(k,0,n) FOR(i,0,n) FOR(j,0,n)
96 if(k<=j || k<=i) d[i][j]=min(d[i][k]+d[k][j],d[i][j]);
97 mc.AddEdge(s,n+1,K,0);
98 FOR(i,1,n) {
99 mc.AddEdge(s,i+n+1,1,0);
100 mc.AddEdge(i,t,1,0);
101 }
102 FOR(i,0,n) FOR(j,i+1,n)
103 if(d[i][j]!=INF) mc.AddEdge(i+n+1,j,1,d[i][j]);
104 LL cost;
105 mc.Mincost(s,t,cost);
106 printf("%lld",cost);
107 return 0;
108 }