先拜大牛。感谢贾志鹏严谨的思维。以及简单清晰的论文描述。
一定要结合论文看。我只是提出我觉得关键的部分。论文在网上随处可见。贾志鹏线性筛。
开头两种线性筛的比较。
一种是传统的线性筛。时间复杂度为N*log(log(N))。
另外一种是优化了合数的筛法。文中称作Euler线性筛。
其优化的地方。
举个例子：合数6。 是2的倍数也是3的倍数。 当你用传统的筛法的时候在遍历2的倍数的时候会遍历到6。遍历3的倍数的时候同样也会遍历到6。
而另外一种只会筛出6为2的倍数。3就不会筛6了。
另外个人认为筛法二有一个很重要的思想。当i为合数的时候。其实脑海里不认为是合数。而是素数的乘积。这样就能比较直观地确定这个算法的正确性了。
积性函数。
分为完全积性和条件积性。
我们最喜欢的积性。大概就是互素积性了。因为满足互素积性的话。根据算术基本定理。就能够简单做到推广到任意实数。
f(1) = 1 。 这个在我们高中数学题。抽象函数。就已经能简单知道了。
欧拉函数。就不再谈了。包括其线性筛的那一步至关重要的证明。也在我其它博文提到过了。
其 欧拉定理和费马小定理的作用。我得再多补充一点。
以及约数和。 n的约数和为 n*φ(n)/2.
莫比乌斯函数和容斥定理的关系。
可以发现莫比乌斯函数其实就是容斥定理的映射一般。
莫比乌斯函数 是我们再熟悉不过的了。
首先看 (-1)^r m = p1p2p3p4p5pr 其实就是在模拟容斥定理。
假如一但不是素数。那就为0.
两个函数的线性筛。这其实是我们处理问题的基本。
问题一：求1~N对质数P的乘法逆元。
关于f(n)为完全积性函数。根据同余定理可以简单获得。要证明的话。减法证同余即可。
P = nt + k
n‘ ≡ n*(t^2)*f(k)^2 (mod P)
这个证明过程很漂亮(很佩服这么顺畅,思维这么清晰)。也是根据同余定理。还有逆元的性质。就能推理的。
这个问题的意义。可以求N!的 mod P 的逆元了。逆元还是很有用的。因为毕竟除法并没有特别好的同余式。（依稀还记得那两个。）
问题二：给T组N,M.依次求出
的值.(N,M<=10^6,T<=10^3)
求解gcd(a,b).把gcd(a,b)当做n.再通过欧拉函数和式。推导过程如下。
第二个等式是用d来看待式子的方法来化简和式的。
之后再穷举d即可。论文上有个优化在这里没体现。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 100
bool mark[N+5];
int prime[N+5];
int num;
int euler[N+5];
int Min(int a,int b){return a>b?a:b;}
void Euler()
{
int i,j;
num = 0;
memset(euler,0,sizeof(euler));
memset(prime,0,sizeof(prime));
memset(mark,0,sizeof(mark));
euler[1] = 1; // multiply function
for(i=2;i<=N;i++)
{
if(!mark[i])
{
prime[num++] = i;
euler[i] = i-1;
}
for(j=0;j<num;j++)
{
if(i*prime[j]>N){break;}
mark[i*prime[j]] = 1;
if(i%prime[j]==0)
{
euler[i*prime[j]] = euler[i]*prime[j];
break;
}
else
{
euler[i*prime[j]] = euler[prime[j]]*euler[i];
}
}
}
}
int main()
{
int i;
int M1,M2;
Euler();
for(i=0;i<num;i++)printf("%d ",prime[i]);
printf("\n");
for(i=1;i<=N;i++)printf("%d ",euler[i]);
printf("\n");
M1 = 2;
M2 = 3;
int sum = 0;
int min = Min(M1,M2);
for(i=1;i<=min;i++)
{
sum += euler[i]*(M1/i)*(M2/i);
}
printf("%d\n",sum);
}
the second problem test
问题三：给T组N,M.依次求出
的值.(N,M<=10^6,T<=10^3)
在证明之前，先证明以下式子。
问题的解决推导。
第一个等式。lcm(a,b) = ab/gcd(a,b).
第二个等式。令d=gcd(a,b)。
第三个等式。转化为d的视角。（这个手法经常有）。
第四个等式。转化为莫比乌斯函数。
第五个等式。利用上述的等式来转化。注意d和d‘
第六个等式。论文中提到的有趣的化简性质。
第七个等式。至今未明白。
之后就是如论文中介绍的。g(d) 为积性函数。线性筛之。
总体上算法还是N的。
问题四：给T组N,M.依次求出
的值.(N,M<=10^6,T<=10^3)
实质上就是求 
其中x和y互素。的对数。
我们是时候需要有和式化成的思想了。[gcd(a,b)=1]真是漂亮的莫比乌斯函数的和式的结果。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 100
bool mark[N+5];
int prime[N+5];
int num;
int mobi[N+5];
int Min(int a,int b){return a>b?a:b;}
void Mobi()
{
int i,j;
num = 0;
memset(mobi,0,sizeof(mobi));
memset(prime,0,sizeof(prime));
memset(mark,0,sizeof(mark));
mobi[1] = 1; // multiply function
for(i=2;i<=N;i++)
{
if(!mark[i])
{
prime[num++] = i;
mobi[i] = -1;
}
for(j=0;j<num;j++)
{
if(i*prime[j]>N){break;}
mark[i*prime[j]] = 1;
if(i%prime[j]==0)
{
mobi[i*prime[j]] = 0;
break;
}
else
{
mobi[i*prime[j]] = mobi[prime[j]]*mobi[i];
}
}
}
}
int main()
{
int i;
int M1,M2;
Mobi();
for(i=0;i<num;i++)printf("%d ",prime[i]);
printf("\n");
for(i=1;i<=N;i++)printf("%d ",mobi[i]);
printf("\n");
M1 = 2;
M2 = 3;
int sum = 0;
int min = Min(M1,M2);
for(i=1;i<=min;i++)
{
sum += mobi[i]*(M1/i)*(M2/i);
}
printf("%d\n",sum);
}
Test problem forth
问题五：给T组N.依次求出
的值.(N<=10^6,T<=10^3)
其实根据问题三.可以直接获得该化简出来的式子的。
然后解法和问题三一样。
但是论文上寻找积性f(n)直接筛出答案。
首先佩服一下其思维的紧密。一个变量啊。就寻找积性函数。这个转化真是清晰而又巧。
画个图就能知道 -n 是用来去重复的统计的。
.
f(n)是积性的。具体证明如论文上解释。
第一个等式:d = gcd(n,i)
第二个等式:k = i/d.且全部都除以d.gcd(a,b)=d转化成求互素(gcd(a,b)=1)的问题。
第三个等式:令d=n/d。是对应的。 其实在第二个等式就能看出是欧拉函数求约数和问题了。
第四个等式:不解释了吧。
第五个等式:手算一下容易得。