回溯算法是一种选优搜索法,又称为试探法,按选优条件向前搜索,以达到目标。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
回溯法解决的问题可以用树结构来描述,每个状态下都对应有n种选择。以全排列问题为例,如对[1, 2, 3]进行全排列,每次从1, 2, 3中选择了一个值后,下一次又可以从1, 2, 3中选择一个值,将这个过程绘制成一棵树,每个节点都有1, 2, 3三个子节点。通常对树的遍历为深度优先的方式,即先序遍历的方式,如果遍历整个树结构,那么时间复杂度将是指数级的,回溯法则通过一定的条件判断,当节点不满足条件时,就会回退到上一个节点,然后再开始下一次的遍历,从而对树进行剪枝,减少需要遍历的路径。如排列的结果无重复值,这一回溯条件可减去多余的路径,同时回溯法还有终止条件,如排列结果长度为3。
因此,解决一个回溯问题,实际上就是一个决策树的遍历过程。有四个要素需要考虑:
- 当前路径:指的是已经做出的选择。
- 选择列表:指的是当前所有可做的选择。
- 回溯条件:指的是判断选择是否有效。
- 终止条件:指的是到达决策树底层,无法再做选择的条件。
代码方面,回溯算法的框架如下,其核心就是 for 循环里面的递归,在递归调用之前「做选择」,在递归调用之后「撤销选择」。
result = [] def backtrack(当前路径, 选择列表): if 满足终止条件: result.add(路径) return for 选择 in 选择列表: if 选择满足回溯条件: 做选择 backtrack(当前路径, 选择列表) 撤销选择
一、全排列问题
下面还是以全排列为例,在红色节点状态时,当前路径为[2],可选择的数字是[1,2,3],但是满足回溯条件即无重复值的只有[1,3],终止条件为全排列结果长度为3。
代码如下:
class Solution { public: vector<vector<int>> res; vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) { vector<int> tmp; backtrack(tmp,nums); return res; } void backtrack(vector<int> tmp,vector<int> nums) { if(tmp.size() == nums.size()) { res.push_back(tmp); return; } for(int i=0;i<nums.size();i++) { vector<int>::iterator iter; iter = std::find(tmp.begin(),tmp.end(),nums[i]); if(iter==tmp.end()) { tmp.push_back(nums[i]); backtrack(tmp,nums); tmp.pop_back(); } } } };
至此,我们就通过全排列问题详解了回溯算法的底层原理。当然,这个算法解决全排列不是很高效,因为对vector使用find需要 O(N) 的时间复杂度。有更好的方法通过交换元素达到目的。但是必须说明的是,不管怎么优化,都符合回溯框架,而且时间复杂度都不可能低于O(N!),因为穷举整棵决策树是无法避免的。这也是回溯算法的一个特点,不像动态规划存在重叠子问题可以优化,回溯算法就是纯暴力穷举,复杂度一般都很高。
二、括号生成问题
给出n代表生成括号的对数,请你写出一个函数,使其能够生成所有可能的并且有效的括号组合。例如,给出n = 3,生成结果为:["((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()"]。
合法括号组合满足一下两点条件:
- 一个合法括号组合的左括号数一定等于右括号数,这个显而易见。
- 一个合法括号组合生成过程中,左括号生成数一定大于等于右括号生成数。比如这个括号组合"))((",前几个子串都是右括号多于左括号,显然不是合法的括号组合。
根据上述的回溯法四个要素,我们逐个分析,对于红色节点,当前路径为“((”;可选择的数字是[‘(’, ‘)’];回溯条件为:左括号数小于等于n,右括号生成数小于等于左括号数;终止条件为:总括号生成数等于n*2。代码如下:
class Solution { public: vector<string> res; int left = 0; int right = 0; vector<string> generateParenthesis(int n) { backtrace("",n); return res; } void backtrace(string tmp,int n) { if(tmp.size()==n*2) { res.push_back(tmp); return; } if(left < n) { tmp.push_back(‘(‘); left++; backtrace(tmp,n); tmp.pop_back(); left--; } if(right<left) { tmp.push_back(‘)‘); right++; backtrace(tmp,n); tmp.pop_back(); right--; } } };
原文地址:https://www.cnblogs.com/BobPong/p/12663204.html