浅析卡特兰数

Catalan数

令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数满足递归式：

h(n)= h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2)

另类递归式：

　　h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

该递推关系的解为：

h(n+1)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

应用：

1.括号化问题

矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　h(n)种

2.出栈次序问题

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边形划分为三角形问题

类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。

如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给定节点组成二叉树的问题

　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0)=h(n))

　　（能构成h（N）个）