一、集成方法(Ensemble Method)

集成方法主要包括Bagging和Boosting两种方法，随机森林算法是基于Bagging思想的机器学习算法，在Bagging方法中，主要通过对训练数据集进行随机采样，以重新组合成不同的数据集，利用弱学习算法对不同的新数据集进行学习，得到一系列的预测结果，对这些预测结果做平均或者投票做出最终的预测。AdaBoost算法和GBDT(Gradient
Boost Decision Tree，梯度提升决策树)算法是基于Boosting思想的机器学习算法。在Boosting思想中是通过对样本进行不同的赋值，对错误学习的样本的权重设置的较大，这样，在后续的学习中集中处理难学的样本，最终得到一系列的预测结果，每个预测结果有一个权重，较大的权重表示该预测效果较好，详细的思想可见博文“简单易学的机器学习算法——集成方法(Ensemble
Method)”。

二、AdaBoost算法思想

AdaBoost算法是基于Boosting思想的机器学习算法，其中AdaBoost是Adaptive
Boosting的缩写，AdaBoost是一种迭代型的算法，其核心思想是针对同一个训练集训练不同的学习算法，即弱学习算法，然后将这些弱学习算法集合起来，构造一个更强的最终学习算法。

为了构造出一个强的学习算法，首先需要选定一个弱学习算法，并利用同一个训练集不断训练弱学习算法，以提升弱学习算法的性能。在AdaBoost算法中，有两个权重，第一个数训练集中每个样本有一个权重，称为样本权重，用向量表示；另一个是每一个弱学习算法具有一个权重，用向量表示。假设有个样本的训练集，初始时，设定每个样本的权重是相等的，即，利用第一个弱学习算法对其进行学习，学习完成后进行错误率的统计：

其中，表示被错误分类的样本数目，表示所有样本的数目。这样便可以利用错误率计算弱学习算法的权重：

在第一次学习完成后，需要重新调整样本的权重，以使得在第一分类中被错分的样本的权重，使得在接下来的学习中可以重点对其进行学习：

其中，表示对第个样本训练正确，表示对第个样本训练错误。是一个归一化因子：

这样进行第二次的学习，当学习轮后，得到了个弱学习算法及其权重。对新的分类数据，分别计算个弱分类器的输出，最终的AdaBoost算法的输出结果为：

其中，是符号函数。具体过程可见下图所示：

(图片来自参考文件1)

三、AdaBoost算法流程

上述为AdaBoost的基本原理，下面给出AdaBoost算法的流程：

(来自参考文献2)

四、实际的例子

AdaBoost算法是一种具有很高精度的分类器，其实AdaBoost算法提供的是一种框架，在这种框架下，我们可以使用不同的弱分类器，通过AdaBoost框架构建出强分类器。下面我们使用单层决策树构建一个分类器处理如下的分类问题：

决策树算法主要有ID3，C4.5和CART，其中ID3和C4.5主要用于分类，CART可以解决回归问题。ID3算法可见博文“简单易学的机器学习算法——决策树之ID3算法”，CART算法可见博文“简单易学的机器学习算法——CART之回归树”。对于单层决策树是无法求解上面这样的问题的。

Python代码

#coding:UTF-8
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Created on 2015年6月15日

@author: zhaozhiyong

'''

from numpy import *

def loadSimpleData():
    datMat = mat([[1., 2.1],
                  [2., 1.1],
                  [1.3, 1.],
                  [1., 1.],
                  [2., 1.]])
    classLabels = mat([1.0, 1.0, -1.0, -1.0, 1.0])
    return datMat, classLabels

def singleStumpClassipy(dataMat, dim, threshold, thresholdIneq):
    classMat = ones((shape(dataMat)[0], 1))
    #根据thresholdIneq划分出不同的类，在'-1'和'1'之间切换
    if thresholdIneq == 'left':#在threshold左侧的为'-1'
        classMat[dataMat[:, dim] <= threshold] = -1.0
    else:
        classMat[dataMat[:, dim] > threshold] = -1.0

    return classMat

def singleStump(dataArr, classLabels, D):
    dataMat = mat(dataArr)
    labelMat = mat(classLabels).T
    m, n = shape(dataMat)
    numSteps = 10.0
    bestStump = {}
    bestClasEst = zeros((m, 1))
    minError = inf
    for i in xrange(n):#对每一个特征
        #取第i列特征的最小值和最大值，以确定步长
        rangeMin = dataMat[:, i].min()
        rangeMax = dataMat[:, i].max()
        stepSize = (rangeMax - rangeMin) / numSteps
        for j in xrange(-1, int(numSteps) + 1):
            #不确定是哪个属于类'-1'，哪个属于类'1'，分两种情况
            for inequal in ['left', 'right']:
                threshold = rangeMin + j * stepSize#得到每个划分的阈值
                predictionClass = singleStumpClassipy(dataMat, i, threshold, inequal)
                errorMat = ones((m, 1))
                errorMat[predictionClass == labelMat] = 0
                weightedError = D.T * errorMat#D是每个样本的权重
                if weightedError < minError:
                    minError = weightedError
                    bestClasEst = predictionClass.copy()
                    bestStump['dim'] = i
                    bestStump['threshold'] = threshold
                    bestStump['inequal'] = inequal

    return bestStump, minError, bestClasEst

def adaBoostTrain(dataArr, classLabels, G):
    weakClassArr = []
    m = shape(dataArr)[0]#样本个数
    #初始化D，即每个样本的权重
    D = mat(ones((m, 1)) / m)
    aggClasEst = mat(zeros((m, 1)))

    for i in xrange(G):#G表示的是迭代次数
        bestStump, minError, bestClasEst = singleStump(dataArr, classLabels, D)
        print 'D:', D.T
        #计算分类器的权重
        alpha = float(0.5 * log((1.0 - minError) / max(minError, 1e-16)))
        bestStump['alpha'] = alpha
        weakClassArr.append(bestStump)
        print 'bestClasEst:', bestClasEst.T

        #重新计算每个样本的权重D
        expon = multiply(-1 * alpha * mat(classLabels).T, bestClasEst)
        D = multiply(D, exp(expon))
        D = D / D.sum()

        aggClasEst += alpha * bestClasEst
        print 'aggClasEst:', aggClasEst
        aggErrors = multiply(sign(aggClasEst) != mat(classLabels).T, ones((m, 1)))
        errorRate = aggErrors.sum() / m
        print 'total error:', errorRate
        if errorRate == 0.0:
            break
    return weakClassArr

def adaBoostClassify(testData, weakClassify):
    dataMat = mat(testData)
    m = shape(dataMat)[0]
    aggClassEst = mat(zeros((m, 1)))
    for i in xrange(len(weakClassify)):#weakClassify是一个列表
        classEst = singleStumpClassipy(dataMat, weakClassify[i]['dim'], weakClassify[i]['threshold'], weakClassify[i]['inequal'])
        aggClassEst += weakClassify[i]['alpha'] * classEst
        print aggClassEst
    return sign(aggClassEst)

if __name__ == '__main__':
    datMat, classLabels = loadSimpleData()
    weakClassArr = adaBoostTrain(datMat, classLabels, 30)
    print "weakClassArr:", weakClassArr
    #test
    result = adaBoostClassify([1, 1], weakClassArr)
    print result

最终的决策树序列：

weakClassArr: [{‘threshold‘: 1.3, ‘dim‘: 0, ‘inequal‘: ‘left‘, ‘alpha‘: 0.6931471805599453}, {‘threshold‘: 1.0, ‘dim‘: 1, ‘inequal‘: ‘left‘, ‘alpha‘: 0.9729550745276565}, {‘threshold‘:
0.90000000000000002, ‘dim‘: 0, ‘inequal‘: ‘left‘, ‘alpha‘: 0.8958797346140273}]

参考

1、机器学习实战

2、A Short Introduction to Boosting