最大值子区间和的一维二维问题

一维问题：nyoj 44 子串和

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题目大意：给定一整型数列{a₁,a₂...,a_n}，找出连续非空子串{a_x,a_x+1,...,a_y}，使得该子序列的和最大，其中，1<=x<=y<=n。

思路：m是元素总个数，sum是第一个元素，将当前的第一个元素作为最大值max,之后依次输入，检查sum<0？是的话更新sum为当前输入值：否则累加，最后比较这样每次步骤的最大值。

代码：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
int main()
{
    int n,m,q,max,sum;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        max=0;
        scanf("%d",&m);
        scanf("%d",&sum);
        max=sum;
        while(m--)
        {
            scanf("%d",&q);
            if(sum<0) sum=q;
            else sum+=q;
            if(sum>max) max=sum;
        }
        printf("%d\n",max);
    }
    return 0;
}

二维问题：nyoj 104 最大和

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题目大意：

给定一个由整数组成二维矩阵（r*c），现在需要找出它的一个子矩阵，使得这个子矩阵内的所有元素之和最大，并把这个子矩阵称为最大子矩阵。

例子：

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

其最大子矩阵为：

9 2

-4 1

-1 8

其元素总和为15。

思路：

二维的问题，其实可以转化为一维的问题。

首先我们要注意到二维子矩阵在选取的时候是个矩阵，联系一个我们经常会用到的技巧：需要频繁计算一个数据任意一个区间的和的时候，我们会预先把这个数组使用mapp[i]=mapp[i]+mapp[i-1]的方式把它记录的值变为数组到这个位置的和，这样的好处就是任意一个区间[i,j]的和就可转化为了mapp[i]-mapp[j-1]。在这里我们依然采用这样的技巧。我们把这个矩阵记录的值对于每个列向量都做上述改变。

然后我们就发现，但我们选取任意的连续行进行组合的时候，这个行区间对于的列的值的和都可以用上述方法快速获得，那么对于每个列的和又会变为一个求一维连续区间最大和问题了。到此这个问题就可以以O(n^2)的复杂度解决了。

代码：

#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
const int maxn=102;
int mapp[maxn][maxn];
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
int main()
{
    int i,j,k,tt,T,r,c,max,temp;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        mem(mapp,0);
        scanf("%d%d",&r,&c);
        for(i=1; i<=r; i++)
        {
            for(j=0; j<c; j++)
            {
                scanf("%d",&mapp[i][j]);
                mapp[i][j]+=mapp[i-1][j];
            }
        }
        for(i=1,tt=mapp[1][0]; i<=r; i++)
            for(j=i; j<=r; j++)
            {
                for(k=max=0; k<c; k++)
                {
                    temp=mapp[j][k]-mapp[i-1][k];
                    max=(max>=0?max:0)+temp;
                    tt=max>tt?max:tt;
                }
            }
        printf("%d\n",tt);
    }
    return 0;
}