设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续. 试证: $f(x)$ 为凸的充分必要条件是 $$\bex f(x)\leq\frac{1}{2h}\int_{-h}^h f(x+t)\rd t \eex$$ 对 $\forall\ [x-h,x+h]\subset [a,b]$ 时成立.
证明: $\ra$: 若 $f$ 为凸函数, 则 $$\bex f(x)\leq \frac{f(x+t)+f(x-t)}{2},\quad 0\leq t\leq h. \eex$$ 两边关于 $t$ 从 $0$ 到 $h$ 积分有 $$\bex hf(x)\leq \frac{1}{2}\int_0^h f(x+t)\rd t +\frac{1}{2}\int_0^hf(x-t)\rd t =\frac{1}{2}\int_{-h}^h f(x+t)\rd t. \eex$$ $\la$: 若 $$\bex f(x)\leq \frac{1}{2h}\int_{-h}^h f(x+t)\rd t,\quad \forall\ [x-h,x+h]\subset [a,b], \eex$$ 则 $$\bex 2hf(x)\leq \int_0^h f(x+t)\rd t+\int_0^h f(x-t)\rd t\quad\sex{\int_{-h}^0f(x+t)\rd t=\int_0^h f(x-t)\rd td}, \eex$$ $$\bex \int_0^h [f(x+t)+f(x-t)-2f(x)]\rd t\geq0. \eex$$ 按 4.3.25 的证明, $$\beex \bea &\quad D_+f(x)\equiv \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^3}\int_0^h [f(x+t)+f(x-t)-2f(x)]\rd t\geq 0\\ &\ra D_+f_\ve(x)>0\quad \sex{f_\ve(x)=f(x)+\ve x^2}\\ &\ra f_\ve\mbox{ 是凸函数}\\ &\ra f \mbox{ 是凸函数}\quad\sex{\ve\to 0^+}. \eea \eeex$$