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002* Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays A and B of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

 1 class Solution:
 2     def findKth(self, A, A_start, B, B_start, k):
 3         if A_start >= len(A):
 4             return B[B_start + k - 1]
 5         if B_start >= len(B):
 6             return A[A_start + k - 1]
 7         if k == 1:
 8             return min(A[A_start], B[B_start])
 9         A_key = 0x3f3f3f3f
10         if A_start + k / 2 - 1 < len(A):
11             A_key = A[A_start + k / 2 - 1]
12         B_key = 0x3f3f3f3f
13         if B_start + k / 2 - 1 < len(B):
14             B_key = B[B_start + k / 2 - 1]
15         if A_key < B_key:
16             return self.findKth(A, A_start + k / 2, B, B_start, k - k / 2)
17         else:
18             return self.findKth(A, A_start, B, B_start + k / 2, k - k / 2)
19     # @return a float
20     def findMedianSortedArrays(self, A, B):
21         n = len(A) + len(B)
22         if n % 2 == 0:
23             return (self.findKth(A, 0, B, 0, n / 2) + self.findKth(A, 0, B, 0, n / 2 + 1)) / 2.0
24         else:
25             return self.findKth(A, 0, B, 0, n / 2 + 1)

出自算法导论9.3-8，设X[1..n]和Y[1..n]为两个数组，每个都包含n个已排好序的数。给出一个求数组X和Y中所有2n个元素的中位数的、O(lgn)时间算法。

 1 int findMedian(int A[],int B[],int n,int low,int high) {
 2     if (low > high) return NOT_FOUND;
 3     else {
 4         int k = (low+high)/2;
 5         if (k==n && A[n]<=B[1]) return A[n];
 6         else if (k<n && B[n-k]<=A[k] && A[k]<=B[n-k+1]) return A[k];
 7         else if (A[k] > B[n-k+1]) return findMedian(A,B,n,low,k-1);
 8         else return findMedian(A,B,n,k+1,high);
 9     }
10 }
11 int twoArrayMedian(int X[],int Y[],int n) {
12     int median = findMedian(X,Y,n,1,n);
13     if (median==NOT_FOUND) median = findMedian(Y,X,n,1,n);
14     return median;
15 }  

我们要取下中位数，注意到一个数x是中位数，当且仅当有n-1个数比x小，有n个数比x大，我们首先假设中位数在数组A中，二分中位数可能在的位置。
假设中位数所在区间为[L,R]，k为(L+R)/2。若A[k]是中位数，数组A中有k-1个数比A[k]小，n-k个数比A[k]大。若B中有n-k个数比A[k]小，有k个数比A[k]大，则A[k]是中位数。
由于B是已排序的，因此B[n-k]<=A[k]<=B[n-k+1]。
若A[k]>B[n-k+1]，则比A[k]小的数至少有n个，所以中位数小于A[k]，因此在区间[L,k-1]中。
反之则在区间[k+1,R]中。
若L>R，则中位数不在A中，对B数组进行同样的二分操作即可。