经典递推问题错排公式分析

问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

以信封问题为例：

   1、当N=1和2时，易得解～，假设F(N-1)和F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况：

   2、当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装。

3、前者，对于每种错装，可从N-1封信中任意取一封和第N封错装，故=F(N-1)*(N-1）

4、后者简单，只能是没装错的那封和第N封交换信封，没装错的那封可以是前面N-1封中的任意一个，故=F(N-2)
* (N-1)。

递归式：d[n]= (n-1)*( d[n-1]+ d[n-2])，

                                                     
                                           特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.