作为从未学过惯性导航的小白，四元数折磨了我很长时间，至今也是似懂非懂的。下面说的不正确的，希望大神指点。
四元数说起来很好理解，即表示绕着瞬时轴n旋转θ角度。瞬时轴n=cosαi+cosγj+cosβk。
四元数的表示即Q=cos(θ/2)+sin(θ/2)(cosαi+cosγj+cosβk)=q0+q1i+q2j+q3k。姿态矩阵是如何和四元数对应的呢？θ和n是多少呢？
先摆出一个很重要的性质：坐标系旋转，矢量固定不变。坐标系OXYZ按照四元数Q转动，得到新坐标系OXbYbZb，设矢量V在两坐标系中的坐标分别为Ve，Vb。那么有，Vb=Q-1VeQ。具体见http://www.doc88.com/p-893241688972.html
这就是四元数得到旋转矩阵的由来。
这篇文章写的太好了，我就直接复制过来了，感谢作者。
四元数表示旋转矩阵，四元数的微分都说的很清楚了，然而我还是不知道q0,q1,q2,q3跟姿态角到底有什么关系。我想了很久，不知道下面的理解是不是对的。
n的方向就是陀螺仪测得的（wx,wy,wz）矢量和的方向，θ就是（wx,wy,wz）矢量和的长度！！！
wx,wy,wz是飞机绕三个轴旋转的角速度，飞机我们认为是分步骤绕三个轴旋转后到达最终位置的，四元数旋转我们认为是一步旋转到最终位置的。那么这两种旋转肯定有关系啊！四元数是绕一个向量旋转，n表示的是旋转方向，θ表示的是旋转量。wx,wy,wz的旋转其实也是绕三个向量旋转，即（wx,0,0）（0,wy,0）（0,0,wz）。它们最终都到达了同一个位置，那么n当然是（wx,0,0）（0,wy,0）（0,0,wz）三个向量的矢量和啦！
在这里我们一定要认清，向量是与坐标系没有关系的！向量就是向量，是固定的！它只是在不同的坐标系表示的坐标不同罢了！
我们被很多书上的图误导了
就像这样的图，先入为主的认为n是在地理坐标系的，然后去想飞机是怎么旋转的，怎么想也想不明白！当我们谈到向量，我们一定要认为他是独立的存在空间的，跟坐标系什么关系都没有！
四元数的本质就是，飞机可以看成绕三个向量x,y,z三步旋转到最终位置，也可以看成绕一个向量n一步旋转到最终位置。那么当然n=x+y+z啦，这里是矢量和。
我们始终要牢记：向量是独立的！跟坐标系没有任何关系！