Rudin的这本《泛函分析》确实不是很好读，总的来说，是因为书中细枝末节的地方确实太多，不太好把握。我是带着学习算子代数的目的来看这本书，因此不想陷入函数空间，尤其是与之相关的Fourier变换问题，因此
在学习了有关拓扑向量空间，局部凸空间和完备性的相关知识后我就直接学习了最后三章，也就是有关Banach代数以及C*-代数的课题。
阅读这本书，我收获最大的地方就在Banach代数，以及B(H)中的有关符号演算的内容。
先简要说明一下什么是符号演算。符号演算的最本质目的在于更加深层次的把握Banach代数中元素的关系，从某种意义上来说，我们希望将C，也就是复平面的相关性质平移到Banach代数中，进而得到Banach代数的性质。符号计算的手段是建立f(a)的合法性，这里f是任何一个复函数，a是Banach代数B中的任意一个元素,事实上a^2是明显的可以定义的，一般的，当f是复系数多项式时，根据B是一个C上的线性空间以及在其上定义的乘法，f(a)的定义也是明确的，那么当f更加复杂一些，我们也希望定义一个f(a).
举一个简单的例子，对任意的a属于B，我们用幂级数来定义e^a=∑a^n/n!,要讨论这个定义是否有意义只需要讨论这个幂级数是否按照范数收敛到B中的点，这是显然的，因为B是完备的。
对于其它一些函数f,我们当然可以按照幂级数的方法去定义，但是这里最终将无法使我们走的更远，我们通过这样手工的方式很难把握它们的特征。
关于Banach代数中的符号演算，我将分两个方面，一个是一般Banach代数B,一个是C*-代数B(H),具体谈谈建立起符号演算的步骤和一些有趣的想法。
1.基于点谱对单个元素建立符号演算
Banach代数符号演算的建立来自于三个启发点，一是向量值积分的建立，二是全纯函数理论，尤其是柯西积分公式。三是banach代数中强全纯B值函数的广泛存在。建立的基础则是完善的谱论。
首先简要谈论一下向量值积分。给一个紧致Hausdorff空间(X,M,μ),M,μ分别是X的Borel集类和Borel测度，一个拓扑向量空间Y，考虑f:X→Y是连续映射。定义所谓f关于测度μ的积分是一个y属于Y，y满足对任何Y
上的连续线性泛函Λ，有∫Λfdμ=Λy.这里Λf是X上的连续函数，自然是Borel可测的，我们当然按照一般测度论的方式，定义它在X上的积分。但是，不是对于任何一个拓扑线性空间Y，这样的y都是存在且唯一的
，一般来说保证Y是Frechet空间(拓扑由完备不变度量诱导)，或者Banach空间时，积分总是存在且唯一的。
我们这里要用到的是考虑复平面上简单闭曲线到Banach代数B中的情形。这里简单闭曲线就是紧致的Hausdorff空间，其上的拓扑由复平面诱导，测度是dz=dx+idy.这是比较特殊的复测度，一段弧长的测度仅由
端点决定。f则是某个X到B中的连续函数，我们很希望这是一个所谓强全纯的函数。这里的强全纯函数指的是关于范数满足//{f(x)-f(y)/x-y}-A(y)//趋于0,当x趋于每个y时。这是全纯函数的一种自然推广。强全纯函数自然是连续的，因此可以作积分。这样的强全纯B值函数总是存在的，例如对每个Ω上的全纯函数f,定义f(λ)e:X→B.这是很平凡的例子。
接下来谈谈Cauchy积分公式，这是复变中基础的不能再基础的内容，如果仅从形式上来看这个定理，它的意思是全纯函数f具有积分表示，这是符号演算体系的出发点，我们也正是希望将f(a)用积分表示为一个全纯的向量值积分的形式。例如
f(a)=∫f(λ)(λe-a)^-1dλ.
从形式上看，这样的定义完全类似于Cauchy积分公式!但是我们这里首先要弄清楚这样几件事情:第一，因为(λe-a)^-1并非总是存在，因此归根到底问题在于，该对C中怎样的闭曲线积分，第二，我们再去弄清楚
f(λ)(λe-a)^-1是不是强全纯的，或者(λe-a)^-1是不是强全纯的。第三，这样的定义是不是有广泛意义的，即对于f(λ)是多项式的情形，应当与平常的结果相同。
我们解决完这三个问题，一般Banach代数的符号演算问题就基本建立起来了。
第一个问题直接指向Banach代数中的谱论，或者，当λ取何值时(λe-a)^-1存在。谱论的结果是，这样的λ构成一个无界开集（事实上x的谱是紧集），这是谱论中最基本的，也是最最漂亮的定理，由这个定理我们可以把积分曲线变成Ω中环绕σ(x)的简单闭曲线，如果f(λ)(λe-a)^-1在Ω中是强全纯的(在Ω中这个函数至少已经是有意义的)，类似于复变函数，这样的积分具有同伦不变性，将不随着曲线的形变而影响积分值。
第二个问题是(λe-a)^-1在其有定义的开集中是否强全纯，答案当然是肯定的，至于证明将用到幂级数的一个不等式，比较的简单。
第三个问题，当f是多项式时，算出的积分值是否是平常定义的那样，即是否是平常定义的推广，这个证明并不是很复杂，可以用归纳法去完成。
这样，我们就定义了一个元素的符号演算问题，我们还可以借此走的再远一些。
2.整体化处理
借助谱论和Banach代数中的拓扑性质，我们可以知道，给定复平面上一个区域Ω，B中谱在Ω中的元素构成B的一个开集O，任意给f是Ω中的全纯函数，定义一个连续函数T:O→B:
T(x)=∫f(λ)(λe-x)^-1dλ.,其中要注意的是，对不同的x，要在Ω中选取绕行σ(x)的不同的曲线。所有这样构造出来的O上的连续函数，用H(O)表示。
在这里我们实际上是将B中的许多x统一处理，进而得到O到B的函数。
这里最为主要的定理是:H(O)按照加法，标量乘法和函数乘法形成一个交换代数，并且在f→T下与Ω上全体全纯函数构成的代数同构。
我稍微解释一下这个定理的意思。这里将H(O)和H(Ω)都做成了代数。H(Ω)是按以下方式做成一个代数：首先将它做成一个C-线性空间，关键是定义乘法:fg(x)=f(x)g(x)，因为fg依然是全纯的，因此这个定义是明确的。但是H(O)却并不是如此显然，如果像H(Ω)那样定义乘法uv(x)=u(x)v(x),所得到的uv甚至不一定是由某个f属于H(Ω)诱导的，换句话说，它不一定按乘法构成一个代数。不过这个定理保证了这一点，并且在自然诱导的作用下诱导一个代数同构，因此我们甚至能知道H(0)不但可以做成一个代数，而且还是一个交换代数!
这样我们就将H(Ω)中的运算同H(O)完全等同起来。
总结：从上述过程中我们可以看出，Banach代数中的符号运算，实际上是将复平面上的函数引入到B中，将复平面上的函数运算变成H(O)中函数的运算，直观上看，从一个元素，我们将可以构造出许许多多的元素，
更深层次上看，这是复平面与B的某种类比，用一种绝不是平凡的已知(全纯函数理论)去深挖出Banach代数的内蕴性质。而在B(H)中的符号演算中，我们将更能够清晰的看清这一点。