《具体数学》——二项式系数

这一篇文章开始讨论有关二项式系数的一系列问题。

基本恒等式：

所谓二项式系数，其实就是我们表示组合情况用到的符号：C(n,k)。而之所以将其称为二项式系数，是因为它和后面的二项式定理有着紧密的联系。

我们先从C(n,k)的内涵出发，众所周知，它表示从n个元素取出k个元素的情况数。通过其表征的组合含义，我们来寻求它的计算公式。

我们按照顺序取出k个元素，由基本的组合原理，有n*(n-1)*(n-1)……3*2*1种情况，由于这个过程我们外加了”一定顺序“这个条件，因此在所有情况的基础上应该除以k的阶乘，用以消除这种顺序，即C(n,k) = n*(n-1)*(n-2)*……*3*2*1  /  k!  ①

结合一些代数技巧，我们可以将其写成阶乘的形式，C(n,k) = n! / k! * (n-k)! ②

进一步来看，我们如果把②右式提出一个n/k，会发现(n-1)!/(k-1)! * [(n-1) - (k-1)]!可以转化成另外一个二项式系数C(n-1,k-1),即有如下的恒等式成立。

C(n,k) = n/k*C(n-1,k-1)  ③

基于恒等式③，我们来证明这样一个下标不变的另一个恒等式：(n-k)C(n,k) = nC(n-1,k) ④

在证明④之前，我们需要知道的是，二项式系数存在“对称性”，即C(n,k) = C(n,n-k)  ⑤

这很好理解，从组合意义的角度来看，对于C(n,k)种取k个元素的情况，都一一对应这剩下的n-k个元素，因此情况数是相同的。

那么我们开始④证明：(n-k)C(n,k) = (n-k)C(n,n-k)

=nC(n-1,n-k-1)

=nC(n-1,k)

证毕。