计算机算法基础 ——数学（排列组合函数）

一 排列

1.从n个元素中取r个元素排列的全体数目

P_n^r=P(n,r)=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)=n!/(n-r)!                  :例：n个球取r个放入r个不同盒子，每个盒子一个球，多少种放法

2. n个元素的全排列

P_nⁿ=P(n,n)=n!

3.例：随机选n(n<365)个人，求其中至少有两人生日相同的概率。

n个人的生日的序列数：365ⁿ

n个人生日均不相同的概率:P(365,n)

故：1-P(365,n)/365ⁿ

4.圆排列

从n个元素中取r个元素沿一圆周排列

Q_n^r = P_n^r /r  （取r个元素作排列的结果与圆排列的结果比较，每个排列重复了r次）

同理：Q_nⁿ = n!/n =(n-1)!

二 组合

1. C_n^r :从n个元素中取r个元素排列而不考虑顺序；

如：n个球取r个放入r个盒子，r个盒子是相同的。

若在每种组合结果的基础对盒子排列，便得到n取r的排列，则：

C_n^r r! = P_n^r  故  C_n^r = P_n^r /r! = n!/(n-r)!r!

2 分组

有a1,a2...a8八位成员，两两配对，分成4组，试求方案N

方法一：依次选择： a1选择同样有7种选择，余下6人中一人，选择同样有5种选择，余下4个，其中一个选择同样有3种可能； N=7*5*3

方法二：全排列与分组（组内，组间）：

将8个成员全排列，共8!种可能；若分成4组，{12}{34}{56}{78},若在组内位置互换，对于选择同样没有影响，则全排列中选择同样有重复，重复数：2ⁿ

同时，4组之间的排列也不影响同样关系，故全排列中对同样关系也有重复，重复数：4!

故得 8!/(2ⁿ*4!)

方法三：先分组，再组内

8个人分成4组，第1组有C₈²种选择，第2组有C₆²种选择，同理第3组有C₄²种选择； 且组的顺序无关

N= C₈²* C₆²*C₄² * C₂² /4! =105

3 允许重复的组合

定理1：在n个不同元素中取r个进行组合，允许重复（r个元素中元素是可重复的），组合数：C_n+r-1^r

定理2：将r个无区别的球，放入n个有标志的盒子，每个盒子中可多于一个，则共有 C_n+r-1^r 种方案

例：(x+y+z)⁴ 共有多少项：

相当于 将4个球，放入3个盒子里，而且每个盒子中的数目不限。如 X⁴  可理解为将4个球都放入盒子X中。

N=C(n+r-1,r)=C(3+4-1,4)=C(6,4)=15

4 不相邻的组合

指：从序列A={1,2,....n}中取r个，其中不存在，i,i+1两个相邻数同时出现于一个组合中的组合。

定理： 从序列A={1,2,....n}中取r个作不相邻组合，其中组合数为：C_n-r-1^r

三 母函数-幂级数

定义：设 a0,a1,a2...an是一个数列，定义它的母函数为幂级数                            ——————————解决元素重复的组合问题

f_a(x)=(1+x)^a =C(a,0)X⁰ +C(a,1)X¹ +C(a,2)X² +C(a,3)X³ +.....+C(a,n)Xⁿ+

母函数与其他母函数存在的关系式：

A(x)= 1/(1-x) = 1+X+X²+X³ +.....+Xⁿ⁺

B(x)=1/(1-x)² =A(x)/(1-x) = 1+2X+3X²+4X³ +.....+nX^n-1

C(x)=1/(1-x)³ =B(x)/(1-x) = 1+3X+6X²+10X³ +.....+

应用：

例1：红球两个，白球，黄球各一个，试问有多少种不同的组合数

利用： f_a(x)=(1+x)^a =C(a,0)X⁰ +C(a,1)X¹ +C(a,2)X² +C(a,3)X³ +.....+C(a,n)Xⁿ+ 其中每一项 指数表示选择数，系数表示该该选择的方案数。

令r个球组合数为Cr,则 C₀ , C₁ , C₂ , C₃ , C₄ 的母函数：

G(x)=( 1+x+x² )(1+x)(1+x)=1+3x+4x²+3x³⁺x⁴

1+x+x²  表示第红球选0个，选一个，选两个

共有：1+3+4+3+1=12种不同组合数。

由4x² 表示选2个球的组合数为4；3x表示选1个球的组合数

例2 ：若有1g,2g,3g,4g的砝码各一枚，问能称出几种可能的重量。

利用： f_a(x)=(1+x)^a =C(a,0)X⁰ +C(a,1)X¹ +C(a,2)X² +C(a,3)X³ +.....+C(a,n)Xⁿ+ 其中每一项 指数表示重量，系数表示该重量的方案数。

母函数为：G(x)=(1+x)( 1+x+x² )( 1+x+x²⁺x³ )( 1+x+x²+x³ +x⁴  )

将系数相加，可得答案。

例3： 若有1g的砝码3枚，2g的砝码4枚，4g的砝码2枚，问能称出哪些重量，各有几种方案。

G(x)=(1+x+x²⁺x³  )( 1+x² +x⁴⁺x⁶+x⁸  ) (1+x⁴+x⁸)

四 母函数—指数型

定义：设 a0,a1,a2...an是一个数列，定义它的母函数为指数型母函数：                                 —— 解决元素重复的排列问题

f_a(x)=(1+x)^a =C(a,0)X⁰ +C(a,1)X¹/1! +C(a,2)X²/2! +C(a,3)X³/3! +.....+C(a,n)Xⁿ/n!+

例1：

8个元素，a1重复3次，a2重复2次，a3重复3次，从中取r个组合，其组合数的母函数：

G(x)=(1+x+x²+x³  )( 1+x² )(1+x+x²+x³  )=1+3x+6x²+9x³+10x⁴+9x⁵+6x⁶+3x⁷+x⁸

可得到，若取4个元素进行组合有10种方案。  若需要取4个元素进行排列呢：问题就转化为从8个元素取4个进行排列，其排列数应是每种组合的排列。

如：x₁x_3³表示1个a1,3个a3; 那么它对应的排列数为 4!/1!3! ;

由：

C_n^r = P_n^r /r!

Ge(x)=(1+x/1!+x²/2!+x³/3!  )( 1+x/1!+x²/2! )(1+x/1!+x²/2!+x³/3!  )=

1+ 3X/1! + 9x²/2! + 28x³/3! + 70x⁴/4! + 170x⁵/5! + 350x⁶/6! + 560x⁷/7!+ 560x⁸/8!

这里取K的排列数应该是K!.故取4个的排列数应是：70；

例： a1,a2...a7为7个有区别的球，将它们放入4个有标志的盒子，要求第1，2两个盒子必须含偶数个数，第3个盒子含有奇数个数。 有多少放法

可理解为从1，2，3，4这4个数字中取7个作允许重复的排列————元素重复的排列

例：求1,3,5,7,9 这5个数字组成的n位数的个数，要求其中3和7出现的次数为偶数，其他数字出现的次数无限制。