原文链接:http://lib.csdn.net/article/datastructure/9204 作者：u011469062
前言：本文不适合 给一组数据15分钟就能实现AVL的插入和删除操作的大牛（也请大牛不要打击小菜）
本文适合，对avl还不了解，还没有亲自实现avl的插入和删除操作的同学
ps，你在嘲笑楼主的题目时，你已证明了自己正在嘲笑自己的智商。我们要善于征服陌生的事物。你如果有半个小时时间就心无杂念的开始吧，建议那些读10分钟文章就心燥还是关闭浏览器吧。
文章结构：
什么是二叉排序树（bst）
二叉排序树（Binary Sort Tree）又称二叉查找树。 它或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树： （1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； （2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； （3）左、右子树也分别为二叉排序树；
好了二叉排序树定义很好理解（如果还不理解,为了不浪费时间，先暂停一下，去google or baidu 下，理解了再继续），再此就不举别的例子了，下面我实现下BST的一些基本操作算法。
BST的基本操作
typedef struct _BitNode
{
int data;
struct _BitNode *lchild,*rchild;
}BitNode,*BiTree;
1.1 ,BST的搜索:
为什么先实现搜索呢？一般BST里面没有重复的元素，你增添或者删除元素，都必须要先查找一下，看有没有呀，所以BST搜索要先实现，这个搜索是很简单的，慢慢看我讲解吧,
我们先看这张图
假如你想找到数值为3的节点并给你这个树的根节点，且规定你只能看到这个根节点左右孩子（其他你们权限看到，也看不到）。那不就是很容易啦，先用3和根节点（此为6）比，显然比6小。那我就去找他的左孩子比，注意，此时4就是6的左子树的根了，那我们就和4这个新的树根比吧，显然又比4小。那我们就继续找这个新根的左孩子比，而此时3就是4的左子树的根了，那我们就和这个根比，哇塞，我们顺藤摸瓜，终于找到了哦！！，那我们就提炼一下这个过程吧，注意哦，我们每次都是和树根相比较的哦！
规则：
1.先和这棵树的根比
2.如果比这个树根小就和这个树根的左子树的根比，否则就和这个树根的右子树比。
3.重复2过程，直到根为空为止。
根据3个步骤很容易实现递归代码。
//搜索元素，参数依次为0: 根节点,1: 查找的元素,2: 找到目标元素的前一个节点指针，初始值为NULL
// 3:如果返回真把目标到元素的指针指向n，返回假，就把pre复制给n）（参数如果不明白，先不要细究，往下看吧）
bool SearchBST(BiTree T,int key,BiTree pre,BiTree&n);
bool SearchBST(BiTree T,int key,BiTree pre,BiTree&n)
{
if(!T)
{
n=pre; //如果此数为空树，那我们就把前一个元素指针pre（此时为NULL）复制给n，注意树为空时，n才为NULL。
return false; //返回假没有找到
}
else if(key==T->data)
{
n=T; //找到了就把目标元素指针给n
return true;
}
if(key<T->data)
SearchBST(T->lchild,key,T,n) ;//去找他的左子树根比
else
{
SearchBST(T->rchild,key,T,n);//去找他的右子树根比。
}
}
1.2 BST的增添元素算法实现
有了搜索这个功能，那我们的增添元素的功能就很容易实现了，
算法描述：
1.先搜所以下所增添的key，在不在此树里面。
2.如果没有找到，则申请空间，把key加入里面返回true，否则返回false。
bool InsetBST(BiTree &T,int k)
{
BitNode* p;
if(!SearchBST(T,k,NULL,p))
{ BitNode * temp=new BitNode;
temp->data=k;
temp->lchild=temp->rchild=NULL;
if(!p) //只有树为空时，此时的p才为NULL。看到这里应该明白SearchBST(T,k,pre,p)这些参数的意义了吧
{
T=temp;
}
else
{
if(k<p->data) //如果不为空树，加入的key值就和p相比较，小于就是他的左孩子，否子为右孩子
p->lchild=temp;
else
{
p->rchild=temp;
}
}
return 0;
}
else
{
return false;
}
}
1.3BST删除元素的算法实现
既然看到这里了，证明你的好奇心很强，这一节看完，我们就离成功不远了，那我们继续吧！
删除总共有3种情况，1只有左子树；2，只有右子树；3，左右子树都有。
先看第一种
如上图所示 我们要删除4这个节点，我们就把他双亲节点的左孩子指向4的左子树。简单吧！。那我么看第二种吧
如上图所示我们所要删除的7节点只有右子树，想必一定想到了，那我们就把他双亲节点的右孩子指向7节点的右孩子，那不就ok啦，太棒了！！。现在看第三种情况吧。
大家看出这三幅图的变化了吗？我们所要删除节点4，为了要保持树的顺序我们就要找比4大的且要离4最近的，那就是他的后继，当然你找前继也是可以的。此图是找他的后继。我们找到后就用4的后继替换4，最后删除后继这个节点。ok，大家看完并理解了这3种情况，那代码实现就很easy啦。
bool DeleElement(BiTree&T,int key)
{
if(!T)
{
return 0; //树是空树的话就返回假
}
if(T->data==key)
{
BitNode*s,*p;
if(T->rchild==NULL) //只有右子树，情况2
{
s=T;
T=T->lchild;
free(s);
}
else if(T->lchild==NULL)
{
s=T; //只有左子树，情况1
T=T->rchild;
free(s);
}
else
{ //情况3，左右子树都有
p=T;
s=T->rchild;
while (s->lchild)
{
p=s; //找到所要删除节点的后继，那就是他的右孩子的
s=s->lchild;
}
T->data=s->data; //用删除节点的后继替换所删除的节点
if(p!=T)
{
p->lchild=NULL; //所删除的节点的右孩子不是叶结点
}
else
p->rchild=NULL; //所删除的节点的右孩子是叶节点
free(s);
}
return 1;
}
else if(key<T->data)
DeleElement(T->lchild,key); //去和他的左子树根去比较
else
DeleElement(T->rchild,key); //去和他的右子树根去比较
}
//中序遍历并输出元素
void InorderReverse(BiTree T)
{
if(T)
{
InorderReverse(T->lchild);
cout<<T->data<<endl;
InorderReverse(T->rchild);
}
}
终于搞完啦，咱也立马上机去测试吧，如果理解了，就自己测试吧，看能不能自己写出来哦！下面是我自己的测试
int main()
{
BiTree tree=NULL;
int a[]={60,86,50,40,35,74,51,100,37,90};
for(int i=0;i<10;i++)
InsetBST(tree,a[i]);
InorderReverse(tree);
cout<<" "<<endl<<endl;
DeleElement(tree,62);
InorderReverse(tree);
return 0;
}
到这为止二叉排序树已经搞定了，如果你自己也实现了上述功能，那证明你有很强的好奇心并且很有天赋（因为楼主搞了好几天才明白，你十几分就搞定了，那不是最好的证明吗？ps：楼主是那种很迟钝但很有毅力），有了前面的基础，AVL就是手到擒来，不要灰心哦，鼓足劲就继续征程吧。如果没有理解，先暂停会，避免浪费不必要的时间，就不要往下看了，建议反复认真看几遍，如果还不理解，可能这篇文章不适合你，建议参考其它文章。
什么是AVL
定义：
平衡二叉树定义(AVL)：它或者是一颗空树，或者具有以下性质的二叉树：它的左子树和右子树的深度之差(平衡因子)的绝对值不超过1，且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。
平衡因子(bf)：结点的左子树的深度减去右子树的深度，那么显然-1<=bf<=1,这里我们定义:
#define EH 0,#define LH 1,#define RH -1.依次为等高，左高，右高。
typedef struct _BitNode
{
int data;
int bf;//平衡因子
struct _BitNode *lchild,*rchild;
}BitNode,*BiTree;
我们都知道，平衡二叉树是在二叉排序树(BST)上引入的(这一点很重要哦，下图为例），就是为了解决二叉排序树的不平衡性导致时间复杂度大大下降，那么AVL就保持住了(BST)的最好时间复杂度O(logn)，所以每次的插入和删除都要确保二叉树的平衡，那么怎么保持平衡呢？如果还不理解看看下面的图吧。
看看AVL的魅力吧。有它就有它存在的价值，看下图便知。
图一和图二都是BST，但图二不是AVL，图一是AVL Tree，如果我们要找到10，图一比较次数为3，而图二比较次数为7次，很显然，在规模比较大的话AVL优势就很突出了。既然AVL这么强大，牛叉。那我们就把它拿下吧。
2.1 AVL增添元素
这里搜索和BST搜索一样，我就不浪费时间介绍了，我们先实现增加元素的，实现然后删除元素的。可是每次的插入和删除都要确保二叉树的平衡，那么怎么保持平衡呢？我们就引入平衡因子。注意这里再看下平衡因子的定义
我先演示下给一组数据，怎么组成一棵AVl Tree。。
int a[]={4,3,2,7,9,11,10};
1， 插入4，如图： 
，平衡因子为0.
2， 插入3，如图： 
，4的平衡因子因为4的左子树增长了，1-0=1，
3， 插入2，如图
，显然4的平衡因子大于1了，为了保持平衡那我们就这样做：让4节点的左孩子指向3的右子树（此时为NULL），让3的右孩子指向4，让树根指向3，如图 
，这种操作我们规定为右旋操作，此图是以4为根进行旋转。 代码如下
void R_Rotate(BiTree&T)
{
BiTree p; //
p=T->lchild; //假如此时T指向4，则p指向3；
T->lchild=p->rchild; //把3的右子树挂接到4的左子树上（此例子3右子树为空）
p->rchild=T; //让3的右孩子指向4.
T=p; //根指向节点3
}
4，插入7，如图：
5，插入9，如图：
显然节点4不平衡了。那我们就把4的右孩子7的左子树（此时为NULL），让7的左孩子指向4，让3的右孩子指向7，如图：
，我们规定此操作为左旋操作，此图是以4为根进行旋转，代码如下：
void L_Rotate(BiTree&T)
{
BiTree p;
p=T->rchild; //假如此时T指向4，则p指向7.
T->rchild=p->lchild; //让7的左子树挂接到4的右子树上
p->lchild=T; //让7的左孩子指向4
T=p; //树根指向7
}
6.我们插入11，如图：
显然3节点，不平衡了，大家都应该知道以3为根进行左旋。让3的右孩子指向7的左子树（此时为4）。7的左孩子指向3，根指向7，如下图所示：
7.我们插入10，如图：
显然节点9不平衡，且是右边高，那我们左旋吧，左旋后的效果是上图右图所示。显然这是不对的，10比11小，但在11的右孩子上。（根本原因是9和11的平衡因子符号不同）那我们在怎么办呢,看下图吧：
成功离我们不远了，我们很容易的把这组数据拼出了AVl 树，是不是很有成就感呀。好啦，我们总结下插入元素的有哪些规律吧
1，如上所述的第3步，当插入元素后导致左边高，右边低，并且为4和3的平衡因子符号相同，则右旋。
2, 如上所诉的第5步，当插入节点9后，导致以4为根的树右边高，左边低，4和7的平衡因子符号相同，则左旋
3，如上所述的第7步，当插入节点10后，导致以9为根的树右边高，左边低，由于9和11的平衡因子符号不同（也就是根和他的右孩子的平衡因子符号不同）不能进行左旋，正确操作：需要先右旋在左旋，要让根和根的右孩子平衡因子符号相同。
4，第4种旋转和3相反，当左边高于右边的话，且根和他的左孩子，平衡因子符号不同，需要先左旋再右旋
恩，就是这么简单。在实现插入函数之前，我们先封装2个函数。
RightBalance():当右高时需要右平衡时调用；
LeftBalance()功能:当左高时需要左平衡时调用；
右平衡函数代码:
void RightBalance(BiTree&T)
{
BiTree R,rl; //调用此函数时，以T为根的树，右边高于左边，则T->bf=RH。
R=T->rchild; //R是T的右孩子
switch (R->bf)
{
case RH: //如果 T的右孩子和T他们的平衡因子符号相同时，则直接左旋，这是总结中的第2项
T->bf=R->bf=EH;
L_Rotate(T);
break;
case EH:
T->bf=RH;
R->bf=LH;
L_Rotate(T);
break;
case LH: //如果T的右孩子和T他们的平衡因子符合不同时，需要先以T的右孩子为根进行右旋，再以T为根左旋。
//rl为T的右孩子的左孩子
rl=R->lchild; //2次旋转后，T的右孩子的左孩子为新的根 。注意：rl的右子树挂接到R的左子树上，rl的左子树挂接到T的右子树上
switch (rl->bf) //这个switch 是操作T和T的右孩子进行旋转后的平衡因子。
{
case EH:
T->bf=R->bf=EH; //这些平衡因子操作，大家可以自己画图操作理解 下面的注解
break;
////2次旋转后，T的右孩子的左孩子为新的根 。
//并且rl的右子树挂接到R的左子树上，rl的左子树挂接到T的右子树上，rl为新根
case RH:
R->bf=EH;
T->bf=LH;
break;
case LH:
R->bf=RH;
T->bf=EH;
break;
default:
break;
}
rl->bf=EH;
R_Rotate(T->rchild); //先左旋，以T->rchild为根左旋。
L_Rotate(T); //右旋，以T为根, 左旋后 T是和rl想等，rl是新根
break;
}
}
void LeftBalance(BiTree&T)
{
BiTree L,lr;
L=T->lchild;
switch (L->bf)
{
case EH:
L->bf=RH;
T->bf=LH;
R_Rotate(T);
break;
case LH:
L->bf=T->bf=EH;
R_Rotate(T);
break;
case RH:
lr=L->rchild;
switch (lr->bf)
{
case EH:
L->bf=L->bf=EH;
case RH:
T->bf=EH;
L->bf=LH;
break;
case LH:
L->bf=EH;
T->bf=RH;
break;
default:
break;
}
lr->bf=EH;
L_Rotate(T->lchild);
R_Rotate(T);
break;
default:
break;
}
}
//哈哈，两元猛将我们已经找到了，但是你看到这有点累了，但不要灰心，成功就在我们脚下，现在放弃，岂不是很可惜啦。那我们就实现插入元素的功能
bool InsertAVLtree(BiTree&T,int key,bool&taller)
{
if(!T) //此树为空
{
T=new BitNode; //直接作为整棵树的根。
T->bf=EH;
T->lchild=T->rchild=NULL;
T->data=key;
taller=true;
return true;
}
else
{ if(key==T->data) //已有元素，不用插入了，返回false；
{
taller=false;
return false;
}
if(key<T->data) //所插元素小于此根的值，就找他的左孩子去比
{
if(!InsertAVLtree(T->lchild,key,taller)) //所插元素小于此根的值，就找他的左孩子去比
return false;
if(taller) //taller为根，则树长高了，并且插入到了此根的左子树上。
{
switch (T->bf) //此根的平衡因子
{
case EH: //原先是左右平衡，等高
T->bf=LH; //由于插入到左子树上，导致左高=》》LH
taller=true; //继续往上递归
break;
case LH:
LeftBalance(T); //原先LH，由于插入到了左边，这T这个树，不平衡需要左平衡
taller=false; //以平衡，设taller为false，往上递归就不用进入此语句了，
break;
case RH:
T->bf=EH; //原先RH，由于插入到左边，导致此T平衡
taller=false;
break;
default:
break;
}
}
}
else
{
if(!InsertAVLtree(T->rchild,key,taller))
return false;
if(taller)
{
switch (T->bf)
{
case EH:
T->bf=RH;
taller=true;
break;
case LH:
T->bf=EH;
taller=false;
break;
case RH:
RightBalance(T);
taller=false;
break;
default:
break;
}
}
}
}
//中序遍历输出
void InOrderReverse(BiTree&T)
{
if(T)
{
InOrderReverse(T->lchild);
cout<<T->data<<endl;
InOrderReverse(T->rchild);
}
}
看到这了，自己出一组数据或按照我刚才用一组数据拼成avl的过程，看代码走一遍，你会有不一样的收货的哦(这其实非常重要)，并插入了成功了，你已经成功99%了，没有想到自己这么厉害吧，我们接下来完成它的删除操作，我们就完美了。如果你有追求完美的目标，那就跟我走吧
2.2AVL的删除操作
下面我会贴出代码，根据代码把上图的元素删除掉吧，你会成功的
为了更好的理解，建议先把插入代码先实现。
删除代码和BST的删除相似，AVL删除元素后还要照顾好平衡。
bool DeletElement(BiTree&T,int key,bool&lower)//参数（0）树根，（1）删除的元素，（3）此树是否降低标志位
{
bool L,R;//删除的是左子树还是右子树，作为标志。
L=R=false;
if(T==NULL) // 判断树根是否为空
return false;
if(key==T->data)//找到了所要删除的节点
{
BitNode* p,*s;
p=T->rchild;
s=p;
lower=true; //找到了必定删除，lower为真
if(T->rchild==NULL) // 如果所要删除的节点的右孩子为空
{
p=T;
T=T->lchild; //直接删除比如删除上图的 4,9,10，
free(p);
lower=true;
return true;
}
else
{
while (s)//如果所要删除的T节点右子树不为空，就找T的后继，也就是T的右孩子左子树的最左叶节点
{
p=s;
s=s->lchild;
}
T->data=p->data;//替换T
DeletElement(T->rchild,p->data,lower);//删除掉T的后继
R=true;
}
}
else if(key<T->data)
{
DeletElement(T->lchild,key,lower);
L=true;
}
else
{
DeletElement(T->rchild,key,lower);
R=true;
}
if(lower)//如果有节点删除
{
if(L)//删除的是左节点
{
switch (T->bf)
{
case LH://没删之前LH，删后T->bf=EH;
T->bf=EH;
lower=true;
break;
case RH://没删之前RH，删后导致右不平衡，
RightBalance(T);
lower=false;
break;
case EH://没删之前EH，删后RH；
T->bf=RH;
lower=false;
break;
default:
break;
}
}
else
{
switch (T->bf)
{
case EH:
T->bf=LH;
lower=false;
break;
case RH:
T->bf=EH;
lower=true;
break;
case LH:
LeftBalance(T);
lower=false;
break;
default:
break;
}
}
}
}
好吧，请原谅我骗了你，你看到这时，已不止半小时了。但为你使你相信你是有能力看完的，我不得不做这个下贱的谎言。 我不期望你能全部都能按照我的思路写下去，因为我写的还不够好，哪怕你有一点收获，楼主也是值得的。
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