一，介绍
学过FFT的人都应该知道什么叫做插值，插值的意思就是说将一个多项式从点值表达转变成系数表达。
在FFT的插值中为什么可以做到n log n，是因为单位复数根的关系。
那对于普通的插值应该怎么办呢？解方程是一种方法，但是这个在计算机中十分不现实。
所以有许多种插值的方法，其中比较普及的就是拉格朗日插值。
二，定义
对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：
其中
对应着自变量的位置，而
对应着函数在这个位置的取值。
假设任意两个不同的xj都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：
其中每个
为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：
拉格朗日基本多项式的特点是在上取值为1，在其它的点
上取值为0。
三，例子
假设有某个二次多项式函数
，已知它在三个点上的取值为：
要求
的值。
首先写出每个拉格朗日基本多项式：
然后应用拉格朗日插值法，就可以得到
的表达式（为函数的插值函数）：
此时代入数值
就可以求出所需之值：
。
四，证明唯一性
就是说n+1个点对应的n次多项式只有一个，这个需要证明，但是一般都会直接当成结论，所以不需要去记忆。
五，优点和缺点
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，
于是整个公式都会变化，非常繁琐[5]。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数
可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差（如右下图）[6]。
这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。
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