差分约束系统小结

　　百科是这样说的：如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

　　学习差分约束系统之前，必须掌握单源最短路径的算法（Bellman-ford、SPFA）。习惯上用SPFA解差分约束的题目。

　　解题思想有两种：

　　假设j > i，

　　1、由xj - xi >=w得到xj >= xi + w,建立一条从xi->xj的边权为w的边。然后用最长路算法。

　　2、由xj - xi >=w得到xi <= xj - w,建立一条从xj->xi的边权为-w的边。然后用最短路算法。

　　在具体建图的时候，为了避免重复，j+1或者i-1。

　　实际上，最长路和最短路算法的区别很小（SPFA模版）。

　　　　最长路算法中dist[]初始化为负无穷，松弛的时候是if(dist[v] < dist[u] + Map[u][v]) 。

　　　　最短路算法中dist[]初始化为正无穷，松弛的时候是if(dist[v] > dist[u] + Map[u][v]) 。

　　以具体的题目作为例子吧。

　　hdu1384

　　题目大意是：

　　　　给出一些区间[ai,bi]和每个区间最少需要ci个点，然后问总共最少需要几个点满足所有区间的要求。

　　由于1<=ai<=bi,所以ai-1或者bi+1都是没关系的，都是可以的。（下标从0开始和1开始都行，却不能是负数）

　　设s[i]是1~i 中需要的点的个数。则

　　s[j+1]-s[i]>=w。这只是题目给出的数据所能建的图。

　　但是有很多点是没有连通的。

　　有隐含条件  　　0=<s[i+1] - s[i] <=1 。

　　这样就可以做题了。

　　如果选择建立xj >= xi + w的关系来建图，就需要用最长路经来解题。dist[]初始化为负无穷。

　　具体的看代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 50010, M=150010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct node
{
    int to, w, next;
};
node edge[M];
int head[N], dist[N], outq[N];
bool vis[N];
int tot;
bool SPFA(int s, int n )
{
    int i,k;
    for(i=0;i<=n;i++) dist[i]=-INF;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(outq,0,sizeof(outq));
    queue<int > q;
    while(!q.empty()) q.pop();
    vis[s]=1;
    dist[s]=0;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        vis[u]=0;
        outq[u]++;
        if(outq[u]>n) return 0 ;
        k=head[u];
        while(k>=0)
        {
            if(dist[edge[k].to]-edge[k].w<dist[u])
            {
                dist[edge[k].to]=dist[u]+edge[k].w;
                if(!vis[edge[k].to])
                {
                    vis[edge[k].to]=1;
                    q.push(edge[k].to);
                }
            }
            k=edge[k].next;
        }
    }
    return 1;
}
void addedge(int i, int j ,int w)
{
    edge[tot].to=j;
    edge[tot].w=w;
    edge[tot].next=head[i];
    head[i]=tot++;
}
void init()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    tot=0;
}
int main()
{
    //freopen("test.txt","r",stdin);
    int n,m,i,j,k,w,a,b;
    while(scanf("%d",&m)!=EOF)
    {
        init();
        a=INF,b=-INF;
        for(k=0;k<m;k++)
        {
            scanf("%d %d %d",&i,&j,&w);
            if(a>i) a=i;
            if(b<j+1) b=j+1;
            addedge(i,j+1,w);
        }
        for(i=a;i<=b;i++)
        {
            addedge(i,i+1,0);
            addedge(i+1,i,-1);
        }
        if(SPFA(a,b)) printf("%d\n",dist[b]);
    }
    return 0;
}