BNUOJ 34985 Elegant String 2014北京邀请赛E题动态规划矩阵快速幂

Elegant String

Time Limit: 1000msMemory Limit: 65536KB

64-bit integer IO format: %lld Java class name: Main

We define a kind of strings as elegant string: among all the substrings of an elegant string, none of them is a permutation of "0, 1,…, k".

Let function(n, k) be the number of elegant strings of length n which only contains digits from 0 to k (inclusive). Please calculate function(n, k).

Input

Input starts with an integer T (T ≤ 400), denoting the number of test cases.

Each case contains two integers, n and k. n (1 ≤ n ≤ 1018) represents the length of the strings, and k (1 ≤ k ≤ 9) represents the biggest digit in the string.

Output

For each case, first output the case number as "Case #x: ", and x is the case number. Then output function(n, k) mod 20140518 in this case.

Sample Input

1 1

7 6

Sample Output

Case #1: 2

Case #2: 818503

Source

2014 ACM-ICPC Beijing Invitational Programming Contest

题解

在北京比赛的时候逗比的读错题了。。。题意是，一个长为n的字符串，只用了（0，1，2，...，k）这（k + 1）个数码。如果这个串的所有子串中，不出现一种（0, 1, 2, ..., k）的任意一个组合，那就称，这个串是优雅的。问所有长为n用了(k + 1)个数码的串中，有多少个优雅的串。

比如串（“112345678910”）就是一个优雅的串，但是串（“963852741023”）就不是一个优雅的串，因为后者有一个子串（“9638527410”）是一个排列。

正确思路是换方向思考！不要想着怎么去直接用容斥原理求，试着去构造一个串。

不妨先把n和k分别设为6和3。

假设这个串是个优雅串，那么这个串的所有长度为4( = k + 1)的子串一定不能出现（0, 1, 2, 3）的一个排列。

我这里假设我构造了一个子串（“023”），如果我希望这个串是个优雅串，那么就会有下一位必然不取"1"。因为一旦取"1"，那么就有了一个排列了。。。

接着去想，假设子串是（“02”），那就有两种情况，第一种是接着从1和3中选一个构成一个长度为三的危险串。为什么是危险串呢？因为下一位必须不为1才能保证整个字符串是一个优雅串。当然还有第二种情况，那就是选0和2，这样相当于这个子串已经安全（近似安全）了。

所以就是规划问题了。

构造法

那么我们去想，假设k = 3吧。

对于第一位，我们可以从{0, 1, 2, 3}中随意选一个。不妨我们选取了0.

对于第二位，我们有两种选择，方案一，和前一位保持一致；方案二，和前一位不同。就不妨有S1("00"), S2("01")；

对于第三位，对于S1，我们依然有两种选择：方案一，和前一位保持一致；方案二，和前一位不同。就不妨有S11("000"), S12("001")；

对于S2.我们有三种选择：方案一，和前一位一致；方案二，和倒数第二位一致；方案三，和前两位不同。就不妨有S21("011"), S22("010"), S23("012")；

S23违反了规则，所以他的子串都不是优雅的。舍弃。

对于第四位，S11，S21，都是两种方案：和前一位一致或不同；S12和S22都是有三种选择：方案一，和前一位一致；方案二，和倒数第二位一致；方案三，和前两位不同；类似的我们可以写出第五位第六位的情况。

这是在k = 3的时候。

我们把k推广出来，那就无非是这几种情况：

判断，从字符串末尾往前数k位所构成的子串中，有多少种字符。

如果是1种，那就有两个方案：A，和这些字符相同；B，和这些字符不同。

如果是2种，那就有三个方案：A，和这些字符中的第一种字符相同；B，和这些字符中的第二种字符相同；C，和这两个字符都不同。

如果是3种，那就有四个方案：A，和这些字符中的第一种字符相同；B，和这些字符中的第二种字符相同；C，和这些字符中的第三种字符相同；D，和这三个字符都不同。

以此类推。

如果是k - 1种，那就有k - 1个方案！为什么？因为根据规律，最后一个选项“和这些字符都不同”的结果就是导致这个串不是优雅串。所以就只剩下了k - 1个选项。

如果前面有了k种字符，嗯，直接舍弃。

dp[i][j]

所以设置dp[i][j]，长度为i的一个字符串，满足从字符串末尾往前数，直到有j种字符为止的字串，并且总长度不超过k位的所构成的子串。

根据我们的构造思路，我们很快就能写出一些简单的等式。同样的以k = 3为例子，并且假设目前有一族{其实就是所有满足长度为i的优雅串的集合}的串，不妨设i
= 6。那么最后的一位(i = 6)的情况为：

dp[6][1] = dp[5][1] + 3 * dp[5][2]

1个dp[5][1]的意思是，直接和前一个数码一样。3个dp[5][2]的意思是，选取两个和前几个不同的数码，然后在选一个和最后一个相同的所以是3个。

dp[6][2] = dp[5][1] + dp[5][2] + 2 * dp[5][3]

1个dp[5][1]的意思是，直接和前一个数码一样。1个dp[5][2]的意思是，直接和前一个数码一样。2个dp[5][3]的意思是，选取1个和前几个不同的数码，然后在选一个和最后一个相同的所以是3个。

dp[6][3] = dp[5][1] + dp[5][2] + dp[5][3]

对于这个，直接选和前一个字符一样的就行。

转移方程如下：

所以就是矩阵快速幂的计算了。

既然都走到这步了，矩阵也就很好写了：

最后的结果就是

res就是答案了。

代码示例

/****
	*@author    Shen
	*@title     北京邀请赛E
	*/
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long int64;

const int MAXN = 11;
const int MAXM = 11;
const int Mod = 20140518;

struct Matrax{
    int n,m;
    int64 mat[MAXN][MAXM];
    Matrax():n(-1),m(-1){}
    Matrax(int _n,int _m):n(_n),m(_m){
        memset(mat,0,sizeof(mat));
    }
    void Unit(int _s){
        n=_s; m=_s;
        for (int i = 0; i < n; i++){
            for (int j = 0; j < n; j++){
                mat[i][j] = (i == j)? 1: 0;
            }
        }
    }
    void print(){
        printf("n = %d, m =  %d\n", n, m);
        for (int i = 0; i < n; i++){
            for (int j = 0; j < m; j++)
                printf("%8d", mat[i][j]);
            printf("\n");
        }
    }
};

Matrax add_mod(const Matrax& a,const Matrax& b,const int64 mod){
    Matrax ans(a.n,a.m);
    for (int i = 0; i < a.n; i++){
        for (int j = 0; j < a.m; j++){
            ans.mat[i][j] = (a.mat[i][j] + b.mat[i][j]) % mod;
        }
    }
    return ans;
}

Matrax mul(const Matrax& a,const Matrax& b){
    Matrax ans(a.n, b.m);
    for (int i = 0; i < a.n; i++){
        for (int j = 0; j < b.m; j++){
            int64 tmp = 0;
            for (int k = 0; k < a.m; k++){
                tmp += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];
            }
            ans.mat[i][j] = tmp;
        }
    }
    return ans;
}

Matrax mul_mod(const Matrax& a, const Matrax& b, const int mod){
    Matrax ans(a.n, b.m);
    for (int i = 0; i < a.n; i++){
        for (int j = 0; j < b.m; j++){
            int64 tmp = 0;
            for (int k = 0; k < a.m; k++){
                tmp += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;
            }
            ans.mat[i][j] = tmp % mod;
        }
    }
    return ans;
}

Matrax pow_mod(const Matrax& a, int64 k, const int mod){
    Matrax p(a.n,a.m), ans(a.n,a.m);
    p = a; ans.Unit(a.n);
    if (k==0) return ans;
    else if (k==1) return a;
    else {
        while (k){
            if (k & 1){
                ans=mul_mod(ans, p, mod);
                k--;
            }
            else {
                k /= 2;
                p = mul_mod(p, p, mod);
            }
        }
        return ans;
    }
}

int64 n;
int  k, t, tt;

void solve(){
    cin >> n >> k;
    Matrax ans(k, 1);

    //tmp = cef ^ (n - 1);
    //ans = tmp * beg;
    //res = ans.mat[0][0];

    Matrax cef(k, k);
    for (int i = 0; i < k; i++)
        for (int j = 0; j <= i; j++)
            cef.mat[i][j] = 1;
    for (int i = 0; i < k - 1; i++)
        cef.mat[i][i + 1] = k - i;
    //cef.print();

    Matrax beg(k, 1);
    for (int i = 0; i < k; i++)
        beg.mat[i][0] = k + 1;

    Matrax tmp(k, k);
    tmp = pow_mod(cef, n - 1, Mod);
    //tmp.print();

    ans = mul_mod(tmp, beg, Mod);
    int res = ans.mat[0][0];
    printf("Case #%d: %d\n", ++tt, res);
}

int main(){
    cin >> t;
    while (t--) solve();
    return 0;
}

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时间： 2024-10-12 03:09:50