由费马小定理可以知道，若p是素数且a是整数，则满足a^p==a(mod p)。若存在正整数a不满足a^p==a(mod p),那么n是合数。
定义：令a是一个正整数，若p是合数且满足a^p==a(mod p)，则p称为以a为基的伪素数。
Miller-Rabin素数测试算法原理： 假如p是素数，且(a,p)==1,(a为任意小于p的正整数），那么a^p-1==1(mod p)。如果a^p-1==1(mod p)，
则可认为n是素数，取多个底进行试验，次数越多，n为素数概率越大。（我的个人理解多次试验为p换基，使之成为伪素数的可能性大大减小）。
（Miller-Rabin测试：不断选取不超过n-1的基b(s次)，计算是否每次都有bn-1 ≡ 1(mod n)，若每次都成立则n是素数，否则为合数。）
转载：说Miller-Rabin测试以前先说两个比较高效的求a*b% n 和 ab %n 的函数，这里都是用到二进制思想，将b拆分成二进制，然后与a相加（相乘）
// a * b % n
//例如: b = 1011101那么a * b mod n = (a * 1000000 mod n + a * 10000 mod n + a * 1000 mod n + a * 100 mod n + a * 1 mod n) mod n
ll mod_mul(ll a, ll b, ll n) {
ll res = 0;
while(b) {
if(b&1) res = (res + a) % n;
a = (a + a) % n;//a=(a<<1)%n
b >>= 1;
}
return res;
}
这代码很棒，以后计算a*b时，如果里面有一个数很大，则可以选择上面的算法，(nlogn)的时间复杂度。
//a^b % n
//同理
ll mod_exp(ll a, ll b, ll n) {
ll res = 1;
while(b) {
if(b&1) res = mod_mul(res, a, n);
a = mod_mul(a, a, n);
b >>= 1;
}
return res;
}
快速幂，没什么好说的。
核心代码：
开始程序时需加srand(time(NULL));
bool miller_rabin(ll n)
{
for(int i=1; i<=N; i++) //N为你打算测试的次数，N(10~20）
{
ll a=random(n-2)+1;//需头文件stdlib.h,random(X)产生0~X的随机数，+1产生1~n-1
if(mod_exp(a,n-1,mod)!=1)
{
"合数";
}
}
}
注意，MIller-Rabin测试是概率型的，不是确定型的，不过由于多次运行后出错的概率非常小，所以实际应用还是可行的。（一次Miller-Rabin测试其成功的概率为3/4）
二次探测定理：（改进）
一个合数n,若对所有满足（b,n)=1的正整数b都有b^n-1==1(mod n)成立，（上面的反例，但出现这种数的几率不大），则称之为卡迈克尔数。
二次探测 如果p是奇素数，则 x2 ≡ 1(mod p)的解为 x = 1 || x = p - 1(mod p);
可以利用二次探测定理在实现Miller-Rabin上添加一些细节，具体实现如下：
bool miller_rabin(ll n) {
if(n == 2 || n == 3 || n == 5 || n == 7 || n == 11) return true;
if(n == 1 || !(n%2) || !(n%3) || !(n%5) || !(n%7) || !(n%11)) return false;
ll x, pre, u;
int i, j, k = 0;
u = n - 1; //要求x^u % n
while(!(u&1)) { //如果u为偶数则u右移，用k记录移位数
k++; u >>= 1;
}
srand((ll)time(0));
for(i = 0; i < S; ++i) { //进行S次测试
x = rand()%(n-2) + 2; //在[2, n)中取随机数
if((x%n) == 0) continue;
x = mod_exp(x, u, n); //先计算(x^u) % n，
pre = x;
for(j = 0; j < k; ++j) { //把移位减掉的量补上，并在这地方加上二次探测
x = mod_mul(x, x, n);
if(x == 1 && pre != 1 && pre != n-1) return false; //二次探测定理，这里如果x = 1则pre 必须等于 1，或则 n-1否则可以判断不是素数
pre = x;
}
if(x != 1) return false; //费马小定理
}
return true;
}
前边这个算法经过测试还是比较靠谱的，可以用作模板。
效率上，VC 10 RELEASE 模式下，采用三次循环 M - R，测试第 19999 个素数 224729 时，快除法快 而测试第 20000 个素数 224737 时，M - R 法快
因此，为保证最高效，测试大数 n 时，可以先对其使用前 19999 个素数进行快除法排除，而后再使用 M - R 测试。
AC_Von 原创，转载请注明出处：http://www.cnblogs.com/vongang/archive/2012/03/15/2398626.html