算法导论 第8章 线性时间排序

合并排序和堆排序的时间复杂度为O(nlgn)，插入排序和冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，快速排序的时间复杂度在平均情况下是O(nlgn)，这些排序算法都是通过对元素进行相互比较从而确定顺序的，因此都叫比较排序。

比较排序可以看做是决策树（一个满二叉树），因为每一次比较都是一个分支。n个元素的序列，其排序的结果有 n! 种可能（n个元素的全排），所以这个决策树有 n! 个叶子结点，假设树的高度为h，则有：n! <= 2^h，所以h >= lg(n!) = Ω(nlgn)。一次比较排序就是从决策树的根节点走到叶节点，所以比较排序的时间复杂度为Ω(nlgn)。

而计数排序、基数排序和桶排序都是非比较排序，其时间复杂度为O(n)，但是这三种排序算法都不是原地排序，占用内存空间较多，而比较排序算法大多都是原地排序。

/*
 *	算法导论 第八章 线性时间排序
 *	计数排序、基数排序和桶排序
 */

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <ctime>
using namespace std;

void printArray(int arr[], int len, char *str)
{
	cout << str << endl;
	for (int i=0; i<len; i++)
	{
		cout << arr[i] << " ";
	}
	cout << endl;
}

int* countingSort(int *arr, int len, int k);
int* radixSort(int *arr, int len, int d);
int getDigit(int num, int d);
int* bucketSort(int *arr, int len, int maxNum);

int main()
{
	int len = 30;
	int k = 10;
	srand(time(NULL));
	int *arr = new int[len];
	for (int i=0; i<len; i++)
	{
		arr[i] = rand() % k;
	}

	//计数排序
	printArray(arr, len, "计数排序前数组");
	int *result = countingSort(arr, len, k);
	printArray(result, len, "计数排序后数组");
	delete[] result;

	//基数排序
	for (int i=0; i<len; i++)
	{
		arr[i] = 100 + rand() % 500;
	}
	printArray(arr, len, "基数排序前数组");
	result = radixSort(arr, len, 3);
	printArray(result, len, "基数排序后数组");
	delete[] result;

	//桶排序
	for (int i=0; i<len; i++)
	{
		arr[i] = rand() % 100;
	}
	printArray(arr, len, "桶排序前数组");
	result = bucketSort(arr, len, 100);
	printArray(result, len, "桶排序后数组");
	delete[] result;

	return 0;
}

/*
 *	计数排序
 *	时间复杂度为O(n+k)
 *	使用计数排序需要在所有元素都在一个小的范围内，即k远小于n
 *	在k=O(n)时，时间复杂度为O(n)
 */
int* countingSort(int *arr, int len, int k)
{
	int *numCount = new int[k]();
	int *result = new int[len];

	//numCount中存储等于i的元素个数
	for (int i=0; i<len; i++)
	{
		numCount[arr[i]]++;
	}

	//numCount中存储小于等于i的元素个数
	for (int i=1; i<k; i++)
	{
		numCount[i] += numCount[i-1];
	}

	//从后至前依次对元素进行排序，保证稳定性，也可以从前往后，但是排序就不稳定了
	for (int i=len-1; i>=0; i--)
	{
		result[numCount[arr[i]]-1] = arr[i];
		numCount[arr[i]]--;
	}

	delete[] numCount;
	return result;
}

/*
 *	基数排序
 *	是建立在计数排序的基础之上的，计数排序的稳定性很重要
 *	否则基数排序就会出错，例如数组[27, 15, 43, 42]，如果子排序过程不稳定
 *	则结果就为[15, 27, 43, 42]
 *	时间复杂度为O(d*(n+k))，在d为常数，k=O(n)时，时间复杂度为O(n)
 */
int* radixSort(int *arr, int len, int d)
{
	int *A = new int[len];
	for (int i=0; i<len; i++)
		A[i] = arr[i];
	for (int j=0; j<d; j++)
	{
		int k = 10;
		int *numCount = new int[k]();
		int *result = new int[len];

		//numCount中存储等于i的元素个数
		for (int i=0; i<len; i++)
		{
			numCount[getDigit(A[i], j)]++;
		}

		//numCount中存储小于等于i的元素个数
		for (int i=1; i<k; i++)
		{
			numCount[i] += numCount[i-1];
		}

		//从后至前依次对元素进行排序，保证稳定性，也可以从前往后，但是排序就不稳定了
		for (int i=len-1; i>=0; i--)
		{
			result[numCount[getDigit(A[i], j)]-1] = A[i];
			numCount[getDigit(A[i], j)]--;
		}
		delete[] A;
		delete[] numCount;
		A = result;
	}
	return A;
}

int getDigit(int num, int d)
{
	return (num % (int)pow(10.0, d+1)) / pow(10.0, d);
}

/*
 *	桶排序
 *	在输入符合均匀分布时，桶排序的效果较好
 *	将各个元素分布在n个桶中，每个桶内再使用插入排序
 *	只要各个桶的尺寸的平方和与总的元素数呈线性关系
 *	则其时间复杂度就为O(n)
 */
int* bucketSort(int *arr, int len, int maxNum)
{
	//建立n个桶
	vector<int> *result = new vector<int>[len];
	//将各个元素分布到各个桶内
	for (int i=0; i<len; i++)
	{
		result[(int)((arr[i]/(double)maxNum)*len)].push_back(arr[i]);
	}

	for (int i=0; i<len; i++)
	{
		int n = result[i].size();
		//插入排序
		for (int j=1; j<n; j++)
		{
			int k = j - 1;
			int key = result[i][j];
			while (k>=0 && result[i][k]>key)
			{
				result[i][k+1] = result[i][k];
				k--;
			}
			result[i][k+1] = key;
		}
	}
	//合并各个桶中的元素
	for (int i=0, j=0; j<len; j++)
	{
		int length = result[j].size();
		for (int k=0; k<length; k++)
		{
			arr[i++] = result[j][k];
		}
	}

	delete[] result;
	return arr;
}

算法导论 第8章 线性时间排序