最近项目赶的紧，歇了一个星期没写博客了，趁周末继续写这个系列。
先前我们讲的都是“线性结构”，他的特征就是“一个节点最多有一个”前驱“和一个”后继“。那么我们今天讲的树会是怎样的呢？
我们可以对”线性结构“改造一下，变为”一个节点最多有一个"前驱“和”多个后继“。哈哈，这就是我们今天说的”树“。
一： 树
我们思维中的”树“就是一种枝繁叶茂的形象，那么数据结构中的”树“该是怎么样呢？对的，他是一种现实中倒立的树。
1：术语
其实树中有很多术语的，这个是我们学习树形结构必须掌握的。
<1> 父节点，子节点，兄弟节点
这个就比较简单了，B和C的父节点就是A，反过来说就是B和C是A的子节点。B和C就是兄弟节点。
<2> 结点的度
其实”度“就是”分支数“，比如A的分支数有两个“B和C",那么A的度为2。
<3> 树的度
看似比较莫名其妙吧，他和”结点的度“的区别就是，树的度讲究大局观，乃树中最大的结点度，其实也就是2。
<4> 叶结点，分支结点
叶结点就是既没有左孩子也没有右孩子结点，也就是结点度为0。分支节点也就是if的else的条件咯。
<5> 结点的层数
这个很简单，也就是树有几层。
<6> 有序树，无序树
有序树我们先前也用过，比如“堆”和“二叉排序树”，说明这种树是按照一定的规则进行排序的，else条件就是无序树。
<7> 森林
现实中，很多的树形成了森林，那在数据结构中，我们把上图的“A”节点砍掉，那么B，C子树合一起就是森林咯。
2: 树的表示
树这个结构的表示其实有很多种，常用的也就是“括号”表示法。
比如上面的树就可以表示为：(A(B(D),(E)),(C(F),(G)))
二： 二叉树
在我们项目开发中，很多地方都会用到树，但是多叉树的处理还是比较纠结的，所以俺们本着“大事化小，小事化了“的原则
把”多叉树“转化为”二叉树“，那么问题就简化了很多。
1： ”二叉树“和”树“有什么差异呢？
第一点: 树的度没有限制，而“二叉树”最多只能有两个，不然也就不叫二叉树了，哈哈。
第二点：树中的子树没有左右划分，很简单啊，找不到参照点，二叉树就有参照物咯。
2： 二叉树的类型
二叉树中有两种比较完美的类型，“完全二叉树”和“满二叉树”。
<1> 满二叉树
除叶子节点外，所有节点的度都为2，文章开头处的树就是这里的“满二叉树”。
<2> 完全二叉树
必须要满足两个条件就即可： 干掉最后一层，二叉树变为“满二叉树”。
最后一层的叶节点必须是“从左到右”依次排开。
我们干掉文章开头处的节点“F和”G",此时还是“完全二叉树”，但已经不是“满二叉树”了，你懂的。
3： 二叉树的性质
二叉树中有5点性质非常重要，也是俺们必须要记住的。
<1> 二叉树中，第i层的节点最多有2(i-1)个。
<2> 深度为k的二叉树最多有2k-1个节点。
<3> 二叉树中，叶子节点树为N1个，度为2的节点有N2个，那么N1=N2+1。
<4> 具有N个结点的二叉树深度为（Log2 N）+1层。
<5> N个结点的完全二叉树如何用顺序存储，对于其中的一个结点i，存在以下关系，
2*i是结点i的父结点。
i/2是结点i的左孩子。
(i/2)+1是结点i的右孩子。
4： 二叉树的顺序存储
同样的存储方式也有两种，“顺序存储”和“链式存储”。
<1> 顺序存储
说实话，树的存储用顺序结构比较少，因为从性质定理中我们都可以看出只限定为“完全二叉树”，那么如果二叉树不是
“完全二叉树”，那我们就麻烦了，必须将其转化为“完全二叉树”，将空的节点可以用“#”代替，图中也可看出，为了维护
性质定理5的要求，我们牺牲了两个”资源“的空间。
<2> 链式存储
上面也说了，顺序存储会造成资源的浪费，所以嘛，我们开发中用的比较多的还是“链式存储”，同样“链式存储”
也非常的形象，非常的合理。
一个结点存放着一个“左指针”和一个“右指针”，这就是二叉链表。
如何方便的查找到该结点的父结点，可以采用三叉链表。
5: 常用操作
一般也就是“添加结点“，“查找节点”，“计算深度”，“遍历结点”，“清空结点”
<1> 这里我们就用二叉链表来定义链式存储模型
1 #region 二叉链表存储结构 2 /// <summary> 3 /// 二叉链表存储结构 4 /// </summary> 5 /// <typeparam name="T"></typeparam> 6 public class ChainTree<T> 7 { 8 public T data; 9 10 public ChainTree<T> left;11 12 public ChainTree<T> right; 13 }14 #endregion
<2> 添加结点
要添加结点，我们就要找到添加结点的父结点，并且根据指示插入到父结点中指定左结点或者右结点。
1 #region 将指定节点插入到二叉树中 2 /// <summary> 3 /// 将指定节点插入到二叉树中 4 /// </summary> 5 /// <typeparam name="T"></typeparam> 6 /// <param name="tree"></param> 7 /// <param name="node"></param> 8 /// <param name="direction">插入做左是右</param> 9 /// <returns></returns>10 public ChainTree<T> BinTreeAddNode<T>(ChainTree<T> tree, ChainTree<T> node, T data, Direction direction)11 {12 if (tree == null)13 return null;14 15 if (tree.data.Equals(data))16 {17 switch (direction)18 {19 case Direction.Left:20 if (tree.left != null)21 throw new Exception("树的左节点不为空，不能插入");22 else23 tree.left = node;24 25 break;26 case Direction.Right:27 if (tree.right != null)28 throw new Exception("树的右节点不为空，不能插入");29 else30 tree.right = node;31 32 break;33 }34 }35 36 BinTreeAddNode(tree.left, node, data, direction);37 BinTreeAddNode(tree.right, node, data, direction);38 39 return tree;40 }41 #endregion
<3> 查找节点
二叉树中到处都散发着递归思想，很能锻炼一下我们对递归的认识，同样查找也是用到了递归思想。
1 #region 在二叉树中查找指定的key 2 /// <summary> 3 ///在二叉树中查找指定的key 4 /// </summary> 5 /// <typeparam name="T"></typeparam> 6 /// <param name="tree"></param> 7 /// <param name="data"></param> 8 /// <returns></returns> 9 public ChainTree<T> BinTreeFind<T>(ChainTree<T> tree, T data)10 {11 if (tree == null)12 return null;13 14 if (tree.data.Equals(data))15 return tree;16 17 return BinTreeFind(tree, data);18 }19 #endregion
<4> 计算深度
这个问题纠结了我二个多小时，原因在于没有深刻的体会到递归，其实主要思想就是递归左子树和右子树，然后得出较大的一个。
1 #region 获取二叉树的深度 2 /// <summary> 3 /// 获取二叉树的深度 4 /// </summary> 5 /// <typeparam name="T"></typeparam> 6 /// <param name="tree"></param> 7 /// <returns></returns> 8 public int BinTreeLen<T>(ChainTree<T> tree) 9 {10 int leftLength;11 int rightLength;12 13 if (tree == null)14 return 0;15 16 //递归左子树的深度17 leftLength = BinTreeLen(tree.left);18 19 //递归右子书的深度20 rightLength = BinTreeLen(tree.right);21 22 if (leftLength > rightLength)23 return leftLength + 1;24 else25 return rightLength + 1;26 }27 #endregion
<5> 遍历结点
二叉树中遍历节点的方法还是比较多的，有“先序”，“中序”，“后序”，“按层”，其实这些东西只可意会，不可言传，真的很难在口头
上说清楚，需要反复的体会递归思想。
先序：先访问根，然后递归访问左子树，最后递归右子树。（DLR模式）
中序：先递归访问左子树，在访问根，最后递归右子树。（LDR模式）
后序：先递归访问左子树，然后递归访问右子树，最后访问根。（LRD模式）
按层：这个比较简单，从上到下，从左到右的遍历节点。
1 #region 二叉树的先序遍历 2 /// <summary> 3 /// 二叉树的先序遍历 4 /// </summary> 5 /// <typeparam name="T"></typeparam> 6 /// <param name="tree"></param> 7 public void BinTree_DLR<T>(ChainTree<T> tree) 8 { 9 if (tree == null) 10 return; 11 12 //先输出根元素 13 Console.Write(tree.data + "\t"); 14 15 //然后遍历左子树 16 BinTree_DLR(tree.left); 17 18 //最后遍历右子树 19 BinTree_DLR(tree.right); 20 } 21 #endregion 22 23 #region 二叉树的中序遍历 24 /// <summary> 25 /// 二叉树的中序遍历 26 /// </summary> 27 /// <typeparam name="T"></typeparam> 28 /// <param name="tree"></param> 29 public void BinTree_LDR<T>(ChainTree<T> tree) 30 { 31 if (tree == null) 32 return; 33 34 //优先遍历左子树 35 BinTree_LDR(tree.left); 36 37 //然后输出节点 38 Console.Write(tree.data + "\t"); 39 40 //最后遍历右子树 41 BinTree_LDR(tree.right); 42 } 43 #endregion 44 45 #region 二叉树的后序遍历 46 /// <summary> 47 /// 二叉树的后序遍历 48 /// </summary> 49 /// <typeparam name="T"></typeparam> 50 /// <param name="tree"></param> 51 public void BinTree_LRD<T>(ChainTree<T> tree) 52 { 53 if (tree == null) 54 return; 55 56 //优先遍历左子树 57 BinTree_LRD(tree.left); 58 59 //然后遍历右子树 60 BinTree_LRD(tree.right); 61 62 //最后输出节点元素 63 Console.Write(tree.data + "\t"); 64 } 65 #endregion 66 67 #region 二叉树的按层遍历 68 /// <summary> 69 /// 二叉树的按层遍历 70 /// </summary> 71 /// <typeparam name="T"></typeparam> 72 /// <param name="tree"></param> 73 public void BinTree_Level<T>(ChainTree<T> tree) 74 { 75 if (tree == null) 76 return; 77 78 //申请保存空间 79 ChainTree<T>[] treeList = new ChainTree<T>[Length]; 80 81 int head = 0; 82 int tail = 0; 83 84 //存放数组 85 treeList[tail] = tree; 86 87 //循环链中计算tail位置 88 tail = (tail + 1) % Length; 89 90 while (head != tail) 91 { 92 var tempNode = treeList[head]; 93 94 head = (head + 1) % Length; 95 96 //输出节点 97 Console.Write(tempNode.data + "\t"); 98 99 //如果左子树不为空,则将左子树存于数组的tail位置100 if (tempNode.left != null)101 {102 treeList[tail] = tempNode.left;103 104 tail = (tail + 1) % Length;105 }106 107 //如果右子树不为空，则将右子树存于数组的tail位置108 if (tempNode.right != null)109 {110 treeList[tail] = tempNode.right;111 112 tail = (tail + 1) % Length;113 }114 }115 }116 #endregion
<6> 清空二叉树
虽然C#里面有GC，但是我们能自己释放的就不麻烦GC了，同样清空二叉树节点，我们用到了递归，说实话，这次练习让我喜欢
上的递归，虽然XXX的情况下，递归的不是很好，但是递归还是很强大的。
1 #region 清空二叉树 2 /// <summary> 3 /// 清空二叉树 4 /// </summary> 5 /// <typeparam name="T"></typeparam> 6 /// <param name="tree"></param> 7 public void BinTreeClear<T>(ChainTree<T> tree) 8 { 9 //递的结束点，归的起始点10 if (tree == null)11 return;12 13 BinTreeClear(tree.left);14 BinTreeClear(tree.right);15 16 //在归的过程中，释放当前节点的数据空间17 tree = null;18 }19 #endregion
最后上一下总的代码
1 using System; 2 using System.Collections.Generic; 3 using System.Linq; 4 using System.Text; 5 6 namespace ChainTree 7 { 8 public class Program 9 { 10 static void Main(string[] args) 11 { 12 ChainTreeManager manager = new ChainTreeManager(); 13 14 //插入节点操作 15 ChainTree<string> tree = CreateRoot(); 16 17 //插入节点数据 18 AddNode(tree); 19 20 //先序遍历 21 Console.WriteLine("\n先序结果为： \n"); 22 manager.BinTree_DLR(tree); 23 24 //中序遍历 25 Console.WriteLine("\n中序结果为： \n"); 26 manager.BinTree_LDR(tree); 27 28 //后序遍历 29 Console.WriteLine("\n后序结果为： \n"); 30 manager.BinTree_LRD(tree); 31 32 //层次遍历 33 Console.WriteLine("\n层次结果为： \n"); 34 manager.Length = 100; 35 manager.BinTree_Level(tree); 36 37 Console.WriteLine("\n树的深度为：" + manager.BinTreeLen(tree) + "\n"); 38 39 Console.ReadLine(); 40 41 } 42 43 #region 生成根节点 44 /// <summary> 45 /// 生成根节点 46 /// </summary> 47 /// <returns></returns> 48 static ChainTree<string> CreateRoot() 49 { 50 ChainTree<string> tree = new ChainTree<string>(); 51 52 Console.WriteLine("请输入根节点，方便我们生成树\n"); 53 54 tree.data = Console.ReadLine(); 55 56 Console.WriteLine("根节点生成已经生成\n"); 57 58 return tree; 59 } 60 #endregion 61 62 #region 插入节点操作 63 /// <summary> 64 /// 插入节点操作 65 /// </summary> 66 /// <param name="tree"></param> 67 static ChainTree<string> AddNode(ChainTree<string> tree) 68 { 69 ChainTreeManager mananger = new ChainTreeManager(); 70 71 while (true) 72 { 73 ChainTree<string> node = new ChainTree<string>(); 74 75 Console.WriteLine("请输入要插入节点的数据：\n"); 76 77 node.data = Console.ReadLine(); 78 79 Console.WriteLine("请输入要查找的父节点数据：\n"); 80 81 var parentData = Console.ReadLine(); 82 83 if (tree == null) 84 { 85 Console.WriteLine("未找到您输入的父节点，请重新输入。"); 86 continue; 87 } 88 89 Console.WriteLine("请确定要插入到父节点的：1 左侧，2 右侧"); 90 91 Direction direction = (Direction)Enum.Parse(typeof(Direction), Console.ReadLine()); 92 93 tree = mananger.BinTreeAddNode(tree, node, parentData, direction); 94 95 Console.WriteLine("插入成功，是否继续？ 1 继续， 2 退出"); 96 97 if (int.Parse(Console.ReadLine()) == 1) 98 continue; 99 else100 break;101 }102 103 return tree;104 }105 #endregion106 }107 108 #region 插入左节点或者右节点109 /// <summary>110 /// 插入左节点或者右节点111 /// </summary>112 public enum Direction { Left = 1, Right = 2 }113 #endregion114 115 #region 二叉链表存储结构116 /// <summary>117 /// 二叉链表存储结构118 /// </summary>119 /// <typeparam name="T"></typeparam>120 public class ChainTree<T>121 {122 public T data;123 124 public ChainTree<T> left;125 126 public ChainTree<T> right;127 }128 #endregion129 130 /// <summary>131 /// 二叉树的操作帮助类132 /// </summary>133 public class ChainTreeManager134 {135 #region 按层遍历的Length空间存储136 /// <summary>137 /// 按层遍历的Length空间存储138 /// </summary>139 public int Length { get; set; }140 #endregion141 142 #region 将指定节点插入到二叉树中143 /// <summary>144 /// 将指定节点插入到二叉树中145 /// </summary>146 /// <typeparam name="T"></typeparam>147 /// <param name="tree"></param>148 /// <param name="node"></param>149 /// <param name="direction">插入做左是右</param>150 /// <returns></returns>151 public ChainTree<T> BinTreeAddNode<T>(ChainTree<T> tree, ChainTree<T> node, T data, Direction direction)152 {153 if (tree == null)154 return null;155 156 if (tree.data.Equals(data))157 {158 switch (direction)159 {160 case Direction.Left:161 if (tree.left != null)162 throw new Exception("树的左节点不为空，不能插入");163 else164 tree.left = node;165 166 break;167 case Direction.Right:168 if (tree.right != null)169 throw new Exception("树的右节点不为空，不能插入");170 else171 tree.right = node;172 173 break;174 }175 }176 177 BinTreeAddNode(tree.left, node, data, direction);178 BinTreeAddNode(tree.right, node, data, direction);179 180 return tree;181 }182 #endregion183 184 #region 获取二叉树指定孩子的状态185 /// <summary>186 /// 获取二叉树指定孩子的状态187 /// </summary>188 /// <typeparam name="T"></typeparam>189 /// <param name="tree"></param>190 /// <param name="direction"></param>191 /// <returns></returns>192 public ChainTree<T> BinTreeChild<T>(ChainTree<T> tree, Direction direction)193 {194 ChainTree<T> childNode = null;195 196 if (tree == null)197 throw new Exception("二叉树为空");198 199 switch (direction)200 {201 case Direction.Left:202 childNode = tree.left;203 break;204 case Direction.Right:205 childNode = tree.right;206 break;207 }208 209 return childNode;210 }211 212 #endregion213 214 #region 获取二叉树的深度215 /// <summary>216 /// 获取二叉树的深度217 /// </summary>218 /// <typeparam name="T"></typeparam>219 /// <param name="tree"></param>220 /// <returns></returns>221 public int BinTreeLen<T>(ChainTree<T> tree)222 {223 int leftLength;224 int rightLength;225 226 if (tree == null)227 return 0;228 229 //递归左子树的深度230 leftLength = BinTreeLen(tree.left);231 232 //递归右子书的深度233 rightLength = BinTreeLen(tree.right);234 235 if (leftLength > rightLength)236 return leftLength + 1;237 else238 return rightLength + 1;239 }240 #endregion241 242 #region 判断二叉树是否为空243 /// <summary>244 /// 判断二叉树是否为空245 /// </summary>246 /// <typeparam name="T"></typeparam>247 /// <param name="tree"></param>248 /// <returns></returns>249 public bool BinTreeisEmpty<T>(ChainTree<T> tree)250 {251 return tree == null ? true : false;252 }253 #endregion254 255 #region 在二叉树中查找指定的key256 /// <summary>257 ///在二叉树中查找指定的key258 /// </summary>259 /// <typeparam name="T"></typeparam>260 /// <param name="tree"></param>261 /// <param name="data"></param>262 /// <returns></returns>263 public ChainTree<T> BinTreeFind<T>(ChainTree<T> tree, T data)264 {265 if (tree == null)266 return null;267 268 if (tree.data.Equals(data))269 return tree;270 271 return BinTreeFind(tree, data);272 }273 #endregion274 275 #region 清空二叉树276 /// <summary>277 /// 清空二叉树278 /// </summary>279 /// <typeparam name="T"></typeparam>280 /// <param name="tree"></param>281 public void BinTreeClear<T>(ChainTree<T> tree)282 {283 //递的结束点，归的起始点284 if (tree == null)285 return;286 287 BinTreeClear(tree.left);288 BinTreeClear(tree.right);289 290 //在归的过程中，释放当前节点的数据空间291 tree = null;292 }293 #endregion294 295 #region 二叉树的先序遍历296 /// <summary>297 /// 二叉树的先序遍历298 /// </summary>299 /// <typeparam name="T"></typeparam>300 /// <param name="tree"></param>301 public void BinTree_DLR<T>(ChainTree<T> tree)302 {303 if (tree == null)304 return;305 306 //先输出根元素307 Console.Write(tree.data + "\t");308 309 //然后遍历左子树310 BinTree_DLR(tree.left);311 312 //最后遍历右子树313 BinTree_DLR(tree.right);314 }315 #endregion316 317 #region 二叉树的中序遍历318 /// <summary>319 /// 二叉树的中序遍历320 /// </summary>321 /// <typeparam name="T"></typeparam>322 /// <param name="tree"></param>323 public void BinTree_LDR<T>(ChainTree<T> tree)324 {325 if (tree == null)326 return;327 328 //优先遍历左子树329 BinTree_LDR(tree.left);330 331 //然后输出节点332 Console.Write(tree.data + "\t");333 334 //最后遍历右子树335 BinTree_LDR(tree.right);336 }337 #endregion338 339 #region 二叉树的后序遍历340 /// <summary>341 /// 二叉树的后序遍历342 /// </summary>343 /// <typeparam name="T"></typeparam>344 /// <param name="tree"></param>345 public void BinTree_LRD<T>(ChainTree<T> tree)346 {347 if (tree == null)348 return;349 350 //优先遍历左子树351 BinTree_LRD(tree.left);352 353 //然后遍历右子树354 BinTree_LRD(tree.right);355 356 //最后输出节点元素357 Console.Write(tree.data + "\t");358 }359 #endregion360 361 #region 二叉树的按层遍历362 /// <summary>363 /// 二叉树的按层遍历364 /// </summary>365 /// <typeparam name="T"></typeparam>366 /// <param name="tree"></param>367 public void BinTree_Level<T>(ChainTree<T> tree)368 {369 if (tree == null)370 return;371 372 //申请保存空间373 ChainTree<T>[] treeList = new ChainTree<T>[Length];374 375 int head = 0;376 int tail = 0;377 378 //存放数组379 treeList[tail] = tree;380 381 //循环链中计算tail位置382 tail = (tail + 1) % Length;383 384 while (head != tail)385 {386 var tempNode = treeList[head];387 388 head = (head + 1) % Length;389 390 //输出节点391 Console.Write(tempNode.data + "\t");392 393 //如果左子树不为空,则将左子树存于数组的tail位置394 if (tempNode.left != null)395 {396 treeList[tail] = tempNode.left;397 398 tail = (tail + 1) % Length;399 }400 401 //如果右子树不为空，则将右子树存于数组的tail位置402 if (tempNode.right != null)403 {404 treeList[tail] = tempNode.right;405 406 tail = (tail + 1) % Length;407 }408 }409 }410 #endregion411 412 }413 }
我们把文章开头的“二叉树”的节点输入到我们的结构中，看看遍历效果咋样。
时间： 2024-12-16 21:07:06