什么是有限群的不变量理论呢？实际上每一个数学专业的学生在他的第一门代数课程中已经学过一些了！这就是对称多项式的基本定理。
回忆域 $F$ 上一个 $n$ 变元的多项式 $f[x_1,\cdots,x_n]$ 称作是对称多项式，如果对任何置换 $\sigma\in S_n$ 有\[f(x_1,\cdots,x_n)=f(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(n)}).\]
定义初等对称多项式为 \[\left\{\begin{array}{l}e_1=\sum_{i=1}^n x_i,\\e_2=\sum_{i<j}x_ix_j,\\\cdots\\ e_m=\sum_{i_1<i_2<\cdots<i_m}x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_m}.\end{array}\right.\] 则对称多项式的基本定理是说
对称多项式的基本定理：对任何 $n$ 个变元的对称多项式 $f\in F[x_1,\cdots,x_n]$ 都存在唯一的多项式 $p(x_1,\cdots,x_n)$ 使得
\[ f(x_1,\cdots,x_n)=p(e_1,\cdots,e_n).\]
这个结论的证明这里就不再重复了。对称多项式是在置换群 $S_n$ 作用下不变的多项式，我们当然可以考虑在一般的群 $G$ 作用下不变的多项式。为此需要说清楚什么是 "群作用在多项式上"。
设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的有限维向量空间，$V^\ast$ 是其对偶空间。设 $v_1,\cdots,v_n$ 是 $V$ 的一组基，$x_1,\cdots,x_n$ 为 $V^\ast$ 中相应的对偶基：$x_i(v_i)=\delta_{ij}$。$x_1,\cdots,x_n$ 是坐标函数，它们是代数无关的：$\mathbb{C}[x_1,\cdots,x_n]$ 是一个多项式环。我们把 $\mathbb{C}[x_1,\cdots,x_n]$ 称作 $V$ 上的坐标环，简记作 $\mathbb{C}[V]$。
注：在复数域上，$x_1,\cdots,x_n$ 是代数无关的这一点等价于说如果一个 $n$ 变元的复多项式 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 在 $\mathbb{C}^n$ 上恒为 0，则 $f=0$。而这在有限域上是不对的。
设 $G\subset GL(V)$ 是一个有限的可逆线性变换群，则 $G$ 也作用在 $\mathbb{C}[V]$ 上：对任何多项式 $f\in \mathbb{C}[V]$，定义 $g$ 在 $f$ 上作用的结果 $g\cdot f$ 为
\[ g\cdot f(v)=f(g^{-1}v).\]
这里用 $g^{-1}$ 复合是为了让 $\mathbb{C}[V]$ 成为一个左 $G-$ 模。如果用 $g$ 复合得到的将是一个右 $G-$ 模。
多项式 $f$ 称作是 $G-$ 不变的，如果对任何 $g\in G$ 都有 $g\cdot f=f$。所有 $G-$ 不变多项式构成的集合记作 $\mathbb{C}[V]^G$，常数多项式总是 $G-$ 不变的多项式。用定义很容易验证 $C[V]^G$ 对多项式的加法和乘法都是封闭的，因此 $\mathbb{C}[V]^G$ 构成 $\mathbb{C}[V]$ 的一个子代数。
我们要问的问题是：
1. $\mathbb{C}[V]^G$ 是否也是一个多项式代数？（即是否存在 $\mathbb{C}[V]$ 中 $r$ 个代数无关的元素 $f_1,\cdots,f_r$ 使得 $\mathbb{C}[V]^G=\mathbb{C}[f_1,\cdots,f_r]$ ？）如果 $\mathbb{C}[V]^G$ 是多项式代数，那么 $f_1,\cdots,f_r$ 在多大程度上是唯一决定的？
2. 如果 $\mathbb{C}[V]^G$ 不是多项式代数，那么是否是有限生成的代数呢？（即是否存在 $\mathbb{C}[V]$ 中 $r$ 个未必代数无关的元素 $f_1,\cdots,f_r$ 使得 $\mathbb{C}[V]^G=\mathbb{C}[f_1,\cdots,f_r]$？）如果 $\mathbb{C}[V]^G$ 是有限生成的代数，那么这些 $f_1,\cdots,f_r$ 多大程度上是唯一决定的？它们之间满足的代数相关性是怎样的？
我们下面将证明，$\mathbb{C}[V]^G$ 总是一个有限生成的代数，而且 $\mathbb{C}[V]^G$ 是一个多项式代数当且仅当 $G$ 是一个伪反射群，这就是著名的 Shephard - Todd - Chevalley 定理。而一般情况下要描述生成元之间满足的代数关系就不那么简单了，这需要许多交换代数的工具，超出了这篇短文的范围。
注：如果 $G\subset GL(V)$ 不是有限群，那么 $\mathbb{C}[V]^G$ 可以不是有限生成的代数，Nagata 在 1958 年给出了著名的反例，见这里。
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Hilbert 有限性定理：$\mathbb{C}[V]^G$ 确实是有限生成代数（但生成元可能是代数相关的）。 主要工具：Hilber Basis Theorem，Reynolds 算子
首先我们需要一点点很显然的事实，虽然很简单，但是却在后面的讨论里面时时刻刻出现着，所以现在早熟悉它们很重要。
多项式环 $\mathbb{C}[V]$ 有一个自然的分次结构：
\[ \mathbb{C}[V] =\bigoplus_{d=0}^\infty \mathbb{C}[V]_d.\]
其中 $\mathbb{C}[V]_d$ 是所有次数为 $d$ 的齐次多项式组成的有限维向量空间，$R_0=\mathbb{C}$，$\mathbb{C}[V]_d\cdot \mathbb{C}[V]_e\subset \mathbb{C}[V]_{d+e}$。
$G$ 在 $\mathbb{C}[V]$ 上的作用很自然地保持这个分次结构：$G$ 把 $\mathbb{C}[V]_d$ 映入 $\mathbb{C}[V]_d$。这很容易验证：设 $x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$ 是任一单项式，其次数为 $d=i_1+\cdots+i_n$。在复合一个线性变换以后变成
\[(a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n)^{i_1}\cdots(a_{n1}x_1+\cdots+a_{nn}x_n)^{i_n}.\]
上面这个式子展开以后是一堆单项式的和，但是每一个和项的次数都是 $d$，所以每个 $d$ 次单项式在复合一个线性变换以后变成若干 $d$ 次单项式的和，从而每个 $d$ 次齐次多项式也是如此。于是 $G$ 在 $\mathbb{C}[V]$ 上的作用限制在每个子空间 $\mathbb{C}[V]_d$ 上是 $\mathbb{C}[V]_d$ 上的一组线性变换。特别地， 一个多项式 $f$ 是 $G-$ 不变的，当且仅当它的每个齐次分量是 $G-$ 不变的，因此 $\mathbb{C}[V]^G$ 也有自然的分次结构
\[ \mathbb{C}[V]^G=\bigoplus_{d=0}^\infty \mathbb{C}[V]_d^G,\quad \mathbb{C}[V]_d^G=\mathbb{C}[V]^G\cap \mathbb{C}[V]_d. \]
现在我们来问一个很基本的问题：怎样给出一个非平凡的（不是常数） $G-$ 不变多项式？一个最简单的办法是 "求平均"：定义 Reynolds 算子 $\mathcal{R}_G: \mathbb{C}[V]\rightarrow \mathbb{C}[V]^G$ 为
\[ \mathcal{R}_G(f)=\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G}g\cdot f\]
你可以很容易验证对任何 $f\in\mathbb{C}[V]$，$\mathcal{R}_G(f)$ 总是 $G-$ 不变多项式。实际上关于 $\mathcal{R}_G$ 我们可以说的更多：
定理：对每个 $d\geq0$，$\mathcal{R}_G$ 限制在有限维向量空间 $\mathbb{C}[V]_d$ 上是从 $\mathbb{C}[V]_d$ 到其子空间 $\mathbb{C}[V]^G_d$ 的投影。
定理的证明属于线性代数的基本知识，这里就不再写了。
现在我们来证明 $\mathbb{C}[V]^G$ 是有限生成的代数。
设 $\mathfrak{m}=\oplus_{d>0} \mathbb{C}[V]^G_d$ 是 $\mathbb{C}[V]^G$ 中所有不含常数项的多项式组成的集合，则 $\mathfrak{m}$ 是 $\mathbb{C}[V]^G$ 的极大理想（很容易验证的）。我们只要证明 $\mathfrak{m}$ 是一个有限生成的代数即可。为此我们把它放到更大的环 $\mathbb{C}[V]$ 中去：设 $I=\mathbb{C}[V]\mathfrak{m}$ 是 $\mathfrak{m}$ 在 $\mathbb{C}[V]$ 中生成的理想，由于 $\mathbb{C}[V]$ 是一个 Noether 环（这是著名的 Hilbert 基定理），因此 $I$ 作为它的理想也是有限生成的：存在一组 $f_1,\cdots,f_m\in I$ 使得 $I=\mathbb{C}[V]f_1+\cdots+\mathbb{C}[V]f_m$。实际上这些 $f_i$ 都可以取自 $\mathfrak{m}$，而且都可以取为齐次多项式（想一想？为什么？）
现在我们断言 $\mathbb{C}[V]^G=\mathbb{C}[f_1,\cdots,f_m]$。为此只要证明对任何 $f\in\mathbb{C}[V]^G$，且 $f$ 是齐次多项式，有 $f\in\mathbb{C}[f_1,\cdots,f_m]$ 即可。
对 $\deg f$ 归纳：如果 $\deg f=0$ 那么 $f$ 是常数多项式，无所可证。
现假设 $\deg f>0$ 且 $\mathbb{C}[V]^G$ 中任何次数小于 $\deg f$ 的齐次多项式都属于 $\mathbb{C}[f_1.\cdots,f_m]$，由于 $f$ 是正次数的齐次多项式因此 $f\in\mathfrak{m}\subset I$，于是存在 $p_1,\cdots,p_m\in\mathbb{C}[V]$ 使得
\[ f=p_1f_1+\cdots+p_mf_m.\]
这里的 $p_1,\cdots,p_m$ 仍然可以取为齐次多项式，次数为 $\deg p_i=\deg f-\deg f_i$（其它次数的单项式都被消掉了，实际上不起作用）。两边同时用 Reynolds 算子作用：
\[ f = \mathcal{R}_G(p_1)f_1+\cdots+\mathcal{R}_G(p_m)f_m.\]
注意这里利用了 $\mathcal{R}_G$ 是投影算子的性质： $\mathcal{R}_G$ 保持 $\mathbb{C}[V]^G$ 中的多项式不动。现在每个 $\mathcal{R}_G(p_i)$ 都是 $G-$ 不变的多项式，且次数严格小于 $f$，根据归纳假设它们都是 $f_1,\cdots,f_m$ 的多项式，于是 $f$ 自然也是 $f_1,\cdots,f_m$ 的多项式。
这个证明告诉我们，要找到 $\mathbb{C}[V]^G$ 的一组代数生成元，只要在 $\mathfrak{m}^+$ 中找到理想 $I$ 的一组生成元就好了。
在 Hilbert 的时代，很多顽固的数学家固执的认为要证明一个对象存在必须明确的给出构造它的方法来。所以当 Hilbert 发表这个非构造性的证明以后，引发了 Gordan （当时搞不变量理论的著名人物）那句著名的评论：这不是数学，这是神学！但是毫无疑问，Hilbert 的这一成果标志着交换代数学的诞生。
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$\mathbb{C}[V]^G$ 需要多少个生成元？
我们已经证明了 $\mathbb{C}[V]^G$ 是一个有限生成的代数，那么接下来的问题就是，我们最少需要多少个生成元呢？
要全部回答这个问题需要一些交换代数的工具。这里只介绍基本的结论：首先 $\mathbb{C}[V]$ 是子环 $\mathbb{C}[V]^G$ 上的有限扩张（整扩张），所以它们有相同的 Krull 维数，都是 $n$，所以 $\mathbb{C}[V]^G$ 中必然包含 $n$ 个代数无关元 $f_1,\cdots,f_n$。我们把这些 $f_i$ 叫做主生成元。主生成元不是唯一的，但是它们的次数 $(d_1,\cdots,d_n)$ 是唯一确定的。
还可以有其它的生成元：可以证明 $\mathbb{C}[V]^G$ 是一个有限生成的自由 $\mathbb{C}[f_1,\cdots,f_n]$ 模：存在 $\mathbb{C}[V]^G$ 中的多项式 $e_1,\cdots,e_m$ 使得
\[\mathbb{C}[V]^G=\bigoplus_{i=1}^r \mathbb{C}[f_1\cdots,f_n]\,e_i,\]
这些 $e_i$ 叫做次生成元。这里次生成元的个数 $m$ 满足
\[m=\frac{d_1\cdots d_n}{|G|}.\]
具体求出这些 $f_i,e_j$ 的次数并不简单。
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重要提醒：接下来的内容是证明 $\mathbb{C}[V]^G$ 由 $n$ 个代数无关的多项式生成当且仅当 $G$ 是一个伪反射群，这就是 Shephard -Todd - Chevalley 定理。我们也只引入证明定理所必须的工具：Hilbert 级数，Jacobi 矩阵。
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Molien 定理
定义：设 $V=\oplus_{d=0}^\infty V_d$ 是向量空间的直和，其中每个 $V_d$ 都是有限维的，定义形式幂级数\[ H(V,t) =\sum_{d=0}^\infty (\dim V_d ) t^d.\]
$H(V,t)$ 叫做 Hilbert 级数。
Molien 定理：设 $G\subset GL(V)$ 是有限群，则不变多项式环 $\mathbb{C}[V]^G$ 的 Hilbert 级数为
\[ H(\mathbb{C}[V]^G,t)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \frac{1}{\det(1-T(g)t)}.\]
这里 $T(g)$ 是 $g$ 在一组基下的矩阵。
Molien 定理的证明其实是纯粹的线性代数。
我们要利用投影算子的一个著名性质：设 $T:V\rightarrow W$ 是从有限维空间 $V$ 到子空间 $W$ 的投影算子，则 $\dim W=\mathrm{tr}(T)$。如果你还不熟悉这个结论，可以自己证明下，并不困难。
现在 Reynolds 算子 $\mathcal{R}_G$ 限制在 $\mathbb{C}[V]_d$ 上是从 $\mathbb{C}[V]_d$ 到子空间 $\mathbb{C}[V]^G_d$ 的投影，所以
\[ \dim\mathbb{C}[V]^G_d =\mathrm{tr}\mathcal{R}_G|_{ \mathbb{C}[V]_d}.\]
我们来计算这个 tr。
设 $g$ 以 $V$ 中一组基 $v_1,\cdots,v_n$ 为特征向量：$gv_i=\lambda_iv_i$，则 $g$ 在对偶空间 $V^\ast$ 中的作用以 $x_1,\cdots,x_n$ 为特征向量：$gx_i=\lambda_i^{-1}x_i$。于是 $\mathbb{C}[V]_d$ 中每一个单项式 $x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$ 都是 $g$ 在 $\mathbb{C}[V]_d$ 上的特征向量，特征值为 $\lambda_1^{-i_1}\cdots\lambda_n^{-i_n}$。所以
\[\begin{align*}H(\mathbb{C}[V]^G,t)&=\sum_{d=0}^\infty\mathrm{tr}\mathcal{R}_G|_{\mathbb{C}[V]_d}\cdot t^d\\&=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\sum_{d=0}^\infty\left(\sum_{i_1+\cdots+i_n=d}\lambda_1^{-i_1}\cdots\lambda_n^{-i_n}\right)t^d\\&=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{1-\lambda_1^{-1}t}\cdots\frac{1}{1-\lambda_n^{-1}t}\\&=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{\det(1-T(g^{-1})t)}\\&=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{\det(1-T(g)t)}.\end{align*}\]
这里最后等号是因为对 $g$ 求和与对 $g^{-1}$ 求和是一样的，这就证明了 Molien 定理。
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代数无关性的判定，Jacobi 矩阵
在线性代数课程里我们知道， 可以利用行列式来判断一组向量是否构成空间的一组基，这是线性无关性的判定。在多元多项式环中我们想判断一组多项式是否是代数无关的，那么是不是还有类似的结论呢？
定理：设 $f_1,\cdots,f_n$ 是特征为 0 的域 $F$ 上的关于 $n$ 个变元 $x_1,\cdots,x_n$ 的多元多项式。定义 Jacobi 矩阵\[ J=\left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{n\times n}.\]则 $f_1,\cdots,f_n$ 代数相关的充要条件是 $\det J\equiv0$。
证明：如果 $\det J$ 不恒为 0，我们来证明 $f_1,\cdots,f_n$ 是代数无关的。若不然则存在非常数的多项式 $p(y_1,\cdots,y_n)$ 使得 $p(f_1,\cdots,f_n)=0$。我们可以假设 $p$ 是所有这样的多项式中次数最低的。对每个 $x_j$ 求导得到 $n$ 个方程
\[ \sum_{i=1}^n\frac{\partial p }{\partial y_i}(f_1,\cdots,f_n)\cdot\frac{\partial f_i}{\partial x_j}=0,\quad j=1,2,\cdots,n.\]
这是一个有理函数域 $F(x_1,\cdots,x_n)$ 上的齐次线性方程组，系数矩阵为 $J$，未知量为 \[\frac{\partial p}{\partial y_i}(f_1,\cdots,f_n).\]
由于 $\det J\ne0$，因此这个方程组只有零解，但是所有的 $\partial p/\partial{y_i}$ 不全为 0（因为 $p$ 不是常数），不妨设 $\partial p/\partial y_1\ne0$，则它的次数小于 $p$ 且满足 \[ \frac{\partial p}{\partial y_1}(f_1,\cdots,f_n)=0,\]这与 $p$ 的选取矛盾！
反过来，若 $f_1,\cdots,f_n$ 是代数无关的，由于 $n$ 变元有理多项式域的超越次数是 $n$，因此对任何 $i$，$n+1$ 个多项式 $\{x_i,f_1,\cdots,f_n\}$ 都是代数相关的。设 $h_i(y_0,y_1,\cdots,y_n)$ 为极小正次数多项式使得
\[ h_i(x_i,f_1,\cdots,f_n)=0.\]
在上式中对 $x_k$ 求偏导得到
\[ \sum_{j=1}^n \frac{\partial h_i}{\partial y_j}(x_i,f_1,\cdots,f_n)\frac{\partial f_j}{\partial x_k}+\frac{\partial h_i}{\partial y_0}(x_i,f_1,\cdots,f_n)\delta_{ik}=0.\]
写成矩形形式就是
\[ \left(\frac{\partial h_i}{\partial y_j}(x_i,f_1,\cdots,f_n)\right)\cdot J=\left(-\delta_{ij}\frac{\partial h_i}{\partial y_0}(x_i,f_1,\cdots,f_n)\right).\]
由于这些 $f_j$ 是代数无关的，$h_i$ 关于 $y_0$ 必然是正次数，因此 $\partial h_i/\partial y_0$ 的次数严格小于 $h_i$，从而它在 $(x_i,f_1,\cdots,f_n)$ 处的值不为 0（否则与 $h_i$ 的选取矛盾）。所以上式右边是一个行列式不为 0 的对角矩阵， 所以 $\det J$ 也不等于 0。
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伪反射群，Shephard - Todd - Cheballey 定理第一部分
定义【伪反射】：设 $V$ 是复数域上的有限维向量空间，$\dim V=n$。$T:V\rightarrow V$ 是一个线性变换，如果 $T$ 满足下面的条件：
1. $T\ne 1$，但存在正整数 $m>1$ 使得 $T^m=1$。
2. 集合 $W=\{v\in V: Tv=v\}$ 是 $V$ 的 $n-1$ 维子空间。
这时就称 $T$ 是一个伪反射。如果 $G\subset GL(V)$ 是一个有限群，且 $G$ 有一组伪反射组成的生成元（即任何 $g\in G$ 都可以表示为若干个伪反射的乘积：$g=T_1T_2\cdots T_l$），这时称 $G$ 是一个伪反射群。
注意一个伪反射群虽然是由伪反射生成的，但是可以包含不是伪反射的元素。
伪反射是很简单的线性变换（虽然伪反射群可能并不简单）。由条件 1,2 可知一个伪反射 $T$ 总是可对角化的，有 $n-1$ 重特征值 1 和一个非平凡的特征值 $\lambda$，$\lambda$ 是一个不等于1 的单位根。 $T$ 在一组基下的矩阵为\[\begin{pmatrix}1&&&\\&\ddots&&\\&&1&\\ &&&\lambda\end{pmatrix}.\]
下面的引理 1 是我们证明的关键，它是 Hilbert 零点定理的直接结果。
引理 1：设 $l=a_1x_1+\cdots+a_nx_n$ 是一个 1 次的齐次多项式，若 $l$ 的零点包含在 $f$ 的零点内，则 $f$ 可以被 $l$ 整除。
接下来的引理 2 则比较晦涩难懂，我想不出它是怎么启发出来 ：
引理 2：设 $f_1,\cdots,f_r\in\mathbb{C}[V]^G$，且 $f_1$ 不属于 $f_2,\cdots,f_r$ 在 $\mathbb{C}[V]^G$ 中生成的理想内。设 $g_1,\cdots,g_r$ 是 $\mathbb{C}[V]$ 中的齐次多项式使得\[ f_1g_1+\cdots+f_rg_r=0,\]
则 $g_1\in I$。这里 $I$ 如前所述，是正次数不变量 $\mathfrak{m}^+$ 在 $\mathbb{C}[V]$ 中生成的理想。
证明：题目条件里说 $f_1$ 不属于 $f_2,\cdots,f_r$ 在 $\mathbb{C}[V]^G$ 中生成的理想内，这其实蕴含 $f_1$ 也不属于 $f_2,\cdots,f_r$ 在 $\mathbb{C}[V]$ 中生成的理想内（否则用 Reynolds 算子作用即得矛盾）。
为证明 $g_1\in I$，对 $\deg g_1$ 归纳。如果 $g_1$ 是常数，那就必须是 0 从而属于 $I$，否则就与 $f_1$ 的假设矛盾。现假设 $\deg g_1>0$。
考虑一个伪反射 $s\in G$，$l$ 是一个以 $s$ 的反射平面 $H$ 为零点的一次多项式（$l$ 在只差一个数乘的意义下是唯一确定的），那么 $s\cdot g_i-g_i$ 都以 $H$ 为零点（因为 $s=s^{-1}$ 保持 $H$ 不动），从而由引理 1 可知存在多项式 $h_i$ 使得
\[ s\cdot g_i-g_i=lh_i.\]
$s\cdot g_i$ 和 $g_i$ 都是齐次多项式，次数也相同，所以 $h_i$ 也是齐次的且次数比 $g_i$ 恰好少 1。现在在 \[f_1g_1+\cdots+f_rg_r=0\] 两边用 $s$ 作用得到
\[f_1(s\cdot g_1)+\cdots+f_r(s\cdot g_r)=0.\]
两个式子相减得到
\[ l(f_1h_1+\cdots+f_rh_r)=0.\]
由于 $l$ 不是零多项式，这说明
\[f_1h_1+\cdots+f_rh_r=0.\]
由归纳假设 $h_1\in I$，即 $sg_1-g_1\in I$。
由于 $G$ 保持 $\mathfrak{m}^+$ 中的多项式不变从而也保持 $I$ 中的多项式不动，所以它自然地作用在商环 $\mathbb{C}[V]/I$ 上。我们已经看到对每个反射 $s\in G$，$s$ 保持 $g_1+I$ 不动，而整个群 $G$ 由其中的反射生成，从而整个群 $G$ 都保持 $g_1+I$ 不动。这意味着对 Reynolds 算子有
\[ \mathcal{R}_G(g_1)\equiv g_1 (\text{mod}\ I).\]
但是 $\mathcal{R}_G(g_1)$ 属于 $\mathfrak{m}^+$，从而属于 $I$，导致 $g_1\in I$，得证。
现在我们可以证明 Shephard - Todd - Chevalley 定理的第一部分了：如果 $G\subset GL(V)$ 是一个有限反射群，则 $\mathbb{C}[V]^G$ 是一个由 $n$ 个代数无关的正次数多项式生成的代数。
在证明前我们先叙述齐次多项式的 Euler 公式：
Euler 公式：设 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是一个齐次多项式，则\[\sum_{i=1}^nx_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=(\deg f)f.\]
证明只要对单项式验证即可，具体步骤省略。
同以前一样我们考虑正次数不变多项式在 $\mathbb{C}[V]$ 中生成的理想 $I$。由 Hilbert 基定理我们可以取 $I$ 的一组极小生成元，则它们也是 $\mathbb{C}[V]^G$ 的代数生成元（Hilbert 有限性定理的证明）。我们的任务是证明 $f_1,\cdots,f_r$ 是代数无关的，这就证明了定理。
反证法，假设 $f_1,\cdots,f_r$ 是代数相关的，则存在多项式 $h(y_1,\cdots,y_r)\ne0$ 使得
\[ h(f_1,\cdots,f_r)=0.\]注意每个 $f_i$ 都是齐次的，设 $ y_1^{e_1}\cdots y_r^{e_r}$ 是 $h$ 中的一个系数不为 0 的单项式，$\deg f_i=d_i$，则 $f_1^{e_1}\cdots f_r^{e_r}$ 的次数就是 $d=\sum d_ie_i$。我们可以抛弃 $h$ 的其它单项式而只留下满足 $\sum d_ie_i=d$ 的那些，这部分单项式的和仍然满足代入 $f_i$ 之后为 0。所以我们可以假设 $h$ 中的单项式都满足 $\sum d_ie_i=d$。
对每个 $x_k$ 求偏导可得
\[ \sum_{i=1}^r h_i\frac{\partial f_i}{\partial x_k}=0,\quad h_i=\frac{\partial h}{\partial y_i}(f_1,\cdots,f_r).\quad (1)\]
注意这里每个 $h_i$ 都是 $f_1,\cdots,f_r$ 的多项式因此都属于 $\mathbb{C}[V]^G$。设 $h_1,\cdots,h_m$ 是所有 $h_i$ 在 $\mathbb{C}[V]^G$ 中生成的理想的极小生成元，这里 $1\leq m\leq r$。对每个 $i>m$，设
\[ h_i=\sum_{j=1}^m g_{ij}h_j,\quad g_{ij}\in\mathbb{C}[V].\quad (2)\]
每个 $h_i$ 看作变元 $x_1,\cdots,x_n$ 的多项式都是齐次的，次数为 $d-d_i$，因此抛弃不必要的单项式以后我们可以假定 $g_{ij}$ 是次数为 $d_j-d_i$ 的齐次多项式。
现在我们把 (2) 中的表达式代入到 (1) 中去：
\[\sum_{i=}^mh_i\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_k}+\sum_{j=m+1}^r g_{ij}\frac{\partial f_j}{\partial x_k}\right)=0.\]
我们把括号里的多项式简记作 $p_i,1\leq i\leq m$，则 $p_i$ 是关于 $x_1,\cdots,x_r$ 次数为 $d_i-1$ 的齐次多项式。
现在我们可以用引理 2 得到 $p_1\in I$，因此
\[ \frac{\partial f_1}{\partial x_k}+\sum_{j=m+1}^rg_{j1}\frac{\partial f_j}{\partial x_k}=\sum_{i=1}^r f_iq_i,\]
其中 $q_i\in\mathbb{C}[V]$。
看起来这个表达式又啰嗦又没什么用。但是我们给这个式子乘以 $x_k$ 再对所有 $k$ 求和，就可以用 Euler 公式得到
\[ d_1f_1+\sum_{j=m+1}^r d_jg_{j1}f_j=\sum_{i=1}^r f_ir_i,\]
这里每个 $\deg r_i>0$ 且没有常数项。这个式子左边是次数为 $d_1$ 的齐次多项式，所以右边次数不等于 $d_1$ 的单项式都会抵消掉。由于 $f_i$ 是次数为 $d_i$ 的齐次多项式，我们可以把 $r_i$ 中次数不等于 $d_1-d_i$ 的单项式全抛弃。特别地由于 $r_1$ 没有常数项，所以我们可以把整个 $r_1$ 全部抛弃掉，这样就把 $f_1$ 表示为 $f_2,\cdots,f_r$ 的 $\mathbb{C}[V]-$ 系数线性组合，这与 $f_1,\cdots,f_r$ 是一组极小生成元矛盾！
这就证明了 Shephard - Todd - Chevalley 定理的第一部分。
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Shephard - Todd - Chevalley 定理第二部分
定理：设 $s(G)$ 为 $G\subset GL(V)$ 中伪反射元组成的集合，则 $H(\mathbb{C}[V]^G,t)$ 在 $t=1$ 处的 Laurent 展开式为\[H(\mathbb{C}[V]^G,t)=\frac{1}{|G|}\frac{1}{(1-t)^n}+\frac{|s(G)|}{2|G|}\frac{1}{(1-t)^{n-1}}+\cdots.\]
证明：回忆在 Molien 定理中我们已经计算了
\[ H(\mathbb{C}[V]^G,t)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{\det(1-gt)}.\]
一个和项 $\det(1-gt)^{-1}$ 在 $t=1$ 处有 $n$ 阶极点当且仅当 $g=1$，在 $t=1$ 处有 $n-1$ 阶极点当且仅当 $g$ 以 $1$ 为 $n-1$ 重特征值，即 $g$ 是一个伪反射元。所以只有伪反射元对应的和项对 $(1-t)^{1-n}$ 的系数有贡献。我们只要计算\[\sum_{g\in s(G)}\frac{1}{\det(1-gt)}\]
的 Laurent 展开式中 $(1-t)^{1-n}$ 项的系数即可。注意到 $g$ 是伪反射元当且仅当 $g^{-1}$ 是伪反射元，因此
\[2\sum_{g\in s(G)}\frac{1}{\det(1-gt)}=\frac{1}{(1-t)^{n-1}}\sum_{g\in s(G)}(\frac{1}{1-\lambda(g)}+\frac{1}{1-\lambda(g^{-1})})=(1-t)^{1-n}|s(G)|.\]
这里 $\lambda(g)$ 表示伪反射元 $g$ 的非平凡的特征值。
推论：如果 $\mathbb{C}[V]^G$ 是一个由 $n$ 个代数无关的齐次元生成的多项式代数：$\mathbb{C}[V]^G=\mathbb{C}[f_1,\cdots,f_m]$，$\deg f_i=d_i$，则
\[|G|=d_1d_2\cdots d_n,\quad d_1+\cdots+d_n-n=|s(G)|.\]
在 $\mathbb{C}[V]^G$ 是多项式代数的情形，可以很容易算出
\[H(\mathbb{C}[V]^G,t)=\frac{1}{1-t^{d_1}}\cdots\frac{1}{1-t^{d_n}}.\]
利用这个第二表达式可以得到 Laurent 展开式为
\[H(\mathbb{C}[V]^G,t)=\frac{1}{d_1d_2\cdots d_n}\frac{1}{(1-t)^n}+\frac{d_1+\cdots+d_n-n}{2d_1d_2\cdots d_n}\frac{1}{(1-t)^{n-1}}+\cdots.\]
这就得到了结论。
现在我们可以来证明 Shephard - Todd - Chevalley 定理的第二部分了：如果 $\mathbb{C}[V]^G$ 是一个多项式代数，则 $G$ 是伪反射群。
为此设 $H$ 是 $G$ 中所有伪反射元生成的子群，则根据第一部分的证明，
\[ \mathbb{C}[V]^H=\mathbb{C}[\varphi_1,\cdots,\varphi_n],\]
其中 $\deg\varphi_i=e_i$。显然 $\mathbb{C}[V]^G$ 是 $\mathbb{C}[V]^H$ 的子代数，因此每个 $f_i$ 都是 $\varphi$ 的多项式。
由于这些 $f$ 和 $\varphi$ 都是代数无关元，从而 Jacobi 行列式 $\det(\partial f_i/\partial \varphi_j)\ne0$，因此存在置换 $\pi$ 使得
\[ \frac{\partial f_{\pi(1)}}{\partial\varphi_1}\cdots\frac{\partial f_{\pi(n)}}{\partial\varphi_n}\ne0.\]
这说明 $\varphi$ 必然出现在 $f_{\pi(i)}=f_{\pi(i)}(\varphi_1,\cdots,\varphi_n)$ 的表达式中，因此 $e_i=\deg\varphi_i\leq d_{\pi(i)}$。但是
\[|s(G)|=|s(H)|=\sum_{i}(d_i-1)=\sum_{i}(d_{\pi(i)}-1)=\sum_{i}(e_i-1),\]
因此 $e_i=d_{\pi(i)}$，所以 $|H|=e_1\cdots e_n=d_1\cdots d_n=|G|$，这就证明了 $H=G$。
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结束语
这实在是一篇很不完整的文章，有很多重要的问题没有说清：
1. 对一般的有限群 $G$，$\mathbb{C}[V]^G$ 的结构是怎样的？（Cohen - Macaulay 环 ）
2. 怎样求出 $\mathbb{C}[V]^G$ 一组齐次生成元？
3. 当 $G$ 是伪反射群的时候，怎样求出 $f_1,\cdots,f_n$ 的次数 $d_1,\cdots,d_n$？（虽然Hilbert 级数可以告诉我们答案，但是求出 Hilbert 级数很简单么？）
这些问题只能留给下面的文献了：
1. Algorithms in invariant theory，Sturmfels.
2. Invariant Theory，Neusel.
3. Reflection Groups and Coxter Groups，Humphreys.