1. 导数的几何意义
函数f(x)在点P的导数定义为P点在函数曲线上的该点切线的斜率。但是如何来准确的求出曲线在该点的切线呢。
有两点要注意：
- 切线并不是只与曲线只有一个交点的线
- 它是曲线上另一点逐渐靠近P点时，形成的割线斜率的极限。
所以导数的几何定义即为：
Limit of slopes of secant lines PQ as Q→P(P fixed). The slope of PQˉˉˉˉˉ:
在我们知道了曲线的导数f′(x)后，我们可以求得点P(x0,y0)处的切线方程为：
y?y0=f′(x)(x?x0)
一些记号
由于y=f(x)，所以我们记：
Δy=Δf=f(x)?f(x0)=f(x+Δx)?f(x0)
差分商的公式可以记为：
ΔyΔx=ΔfΔx
当我们取极限Δx→0时，我们得到
ΔyΔx→dydx(Leibniz‘ notation)
ΔfΔx→f′(x0)(Newton‘s notation)
当我们谈及函数f的导数时，下面的记号是等价的：
dffx,f′,and Df
例：用极限的方法求xn的导数
ddxxn=limΔx→0f(x+Δx)?f(x)Δx=limΔx→0(x+Δx)n?xnΔx=limΔx→0xn+Cn1xn?1(Δx)+O(Δx2)?xnΔx=limΔx→0Cn1xn?1(Δx)+O(Δx2)Δx=limΔx→0(Cn1xn?1+O(Δx))=nxn?1
2. 导数的物理解释
当我们把导数定义为变化率时就得到了导数的物理意义，比如速度。
MIT的孩子们有一个从楼顶往下扔南瓜的传统，我们假设高度为400M。
南瓜离地面的高度随着时间变化而变化，这个关系可以用下面的函数表示：
y=400?16t2
从上面的关系中，我们首先可以计算南瓜的平均速度：
vˉ=ΔyΔt=distance travelledtime elapsed
我们可以知道当南瓜着地的时候y=400?16t2=0，此时t=5，那么平均速度vˉ=400m5sec=80m/s
而实际上我们更关心的是它的瞬时速度，比如南瓜落地时的速度，因为如果速度过快可能会砸死小朋友！
t=5时的瞬时速度为y′:
y′=?32t=?160 m/s
y是负的因为南瓜的速度向下增长的（不是因为速度方向向下）。
3. 变化率(rate of change)
物理中很多物理量有变化率定义：
- 电荷的变化率（dqdt）为电流
- 距离的变化率（dsdt）为速度
- 温度的变化率（dTdt）为温度梯度
