hdu 3480 dp 四边形不等式优化

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3480

给出一个数字集合 S，大小为 n，要求把这个集合分成m个子集，每分出一个子集的费用是子集中的 (max-min)^2，求最小费用。

开始的dp转移很容易想到。

首先对集合从小到大排序，dp[i][j] 表示前i个元素被分成j个子集的最小费用。然后枚举最后一个子集。

dp[i][j] = min{dp[k-1][j-1] + cost(k, i)};

这个转移明显是过不去的，n<10000 m<5000。但是我还是故意T了一发。然后用今天看的新姿势。四边形不等式优化。

这个优化看了一天，大致明白了它是根据满足四边形不等式，决策数组存在单调性，然后可以通过这个单调性得到当前决策的一个区间。使得大大的减少课枚举 K 的时间 ，从而降低 O(n^3) 的复杂度到 O(n^2);

我们可以证明cost(i, j)是满足四边形不等式的。然后推出dp[i][j]也满足。然后决策数组满足 s[i][j-1] <= s[i][j] <= s[i+1][j];

由此我们要先计算dp[i][j-1]和dp[i+1][j]。所以dp数组要从左下角往上枚举。即先枚举 j(1~m) 再反向枚举 i(n~1)。然后记入每一步的决策。并且k的循环可以缩小。

dp数组和决策数组的初始化要注意。

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 ** problem ID  : hdu_3480.cpp
 ** create time : Sat Aug 08 15:44:32 2015
 ** auther name : xuelanghu
 ** auther blog : blog.csdn.net/xuelanghu407
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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAXINT = 999999999;

int n, m;
int a[10010];
int dp[10010][5000];
int s[10010][5000];

int cost (int _a, int _b) {
    return (a[_b] - a[_a]) * (a[_b] - a[_a]);
}

int main () {
    int T;
    scanf ("%d", &T);
    for (int i_case = 1; i_case<=T; i_case++) {
        scanf ("%d%d", &n, &m);
        for (int i=1; i<=n; i++) {
            scanf ("%d", &a[i]);
        }

        sort (a+1, a+n+1);

        for (int i=0; i<n; i++) {
            s[i][0] = 1;
        }
        for (int i=1; i<=n; i++){
            s[n+1][i] = n;
        }

        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i=1; i<=n; i++) {
            dp[i][1] = cost(1, i);
        }
        for (int j=2; j<=m; j++) {
            for (int i=n; i>=1; i--) {
                dp[i][j] = MAXINT;
                for (int k=s[i][j-1]; k<=s[i+1][j]; k++) {
                    if (dp[i][j] > dp[k-1][j-1] + cost(k, i)) {
                        dp[i][j] = dp[k-1][j-1] + cost(k, i);
                        s[i][j] = k;
                    }
                }
            }
        }

        printf ("Case %d: %d\n", i_case, dp[n][m]);
    }

    return 0;
}

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