1.最小的包围圆，将所有的点包围起来。（hdu 3932）最小覆盖圆算法地址：http://soft.cs.tsinghua.edu.cn/blog/?q=node/1066
问题的背景提出：考察固定在工作平台上的一直机械手，要捡起散落在不同位置的多个零件，并送到别的地方。那么，这只机械手的底座应该选在哪里呢？根据直觉，应该选在机械手需够着的那些位置的“中心”。准确地讲，也就是包围这些点的那个最小圆的圆心----该位置的好处是，可使机械手的底座到它需要够着的那些点的最大距离最小化。于是可得如下问题：给定由平面上n个点所组成的一个集合P（对应于机械手需要够着的工作平台的那些位置），试找出P的最小包围圆（smallest enclosing disc）----亦即，包含P中所有点、半径最小的那个圆。这个最小包围圆必然是唯一的。
算法介绍：我们本次算法的设计是基于这样一个简单直观的性质：在既定的给定点条件下，如果引入一张新的半平面，只要此前的最优解顶点（即唯一确定最小包围圆的几个关键顶点）能够包含于其中，则不必对此最优解进行修改，亦即此亦为新点集的最优解；否则，新的最优解顶点必然位于这个新的半空间的边界上。
定理可以通过反证法证明。
于是，基于此性质，我们便可得到一个类似于线性规划算法的随机增量式算法。定义Di为相对于pi的最小包围圆。此算法实现的关键在于对于pi?Di-1时的处理。显然，如果pi∈Di-1，则Di= Di-1；否则，需要对Di另外更新。而且，Di的组成必然包含了pi；因此，此种情况下的最小包围圆是过pi点且覆盖点集{ p1 ，p2 ，p3 ……pi-1}的最小包围圆。则仿照上述处理的思路，Di={ p1 ，pi }，逐个判断点集{ p2 ，p3 ……pi-1 }，如果存在pj? Di，则Di={pj，pi }。同时，再依次对点集{ p1 ，p2 ，p3 ……pj-1 }判断是否满足pk∈Di，若有不满足，则Di={pk ，pj，pi }。由于，三点唯一地确定一个圆，故而，只需在此基础上判断其他的点是否位于此包围圆内，不停地更新pk。当最内层循环完成时，退出循环，转而更新pj；当次内层循环结束时，退出循环，更新pi。当i=n时，表明对所有的顶点均已处理过 ，此时的Dn即表示覆盖了给定n个点的最小包围圆。
问题：找出一个点使得这个店到n个点的最长距离最短，即求最小覆盖圆的半径。
1 #include<cstdio>
2 #include<iostream>
3 #include<cstring>
4 #include<algorithm>
5 #include<cmath>
6 using namespace std;
7
8 const double eps = 1e-8;
9
10 struct node{
11 double x,y;
12 };
13
14 struct node p[1005],central;
15 double R;
16 int n;
17
18 double dist(struct node a,struct node b){
19 return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
20 }
21
22
23 //求外接圆圆心,根据三边相等
24 struct node circumcenter(struct node a,struct node b,struct node c)
25 {
26 double a1=b.x-a.x, b1=b.y-a.y, c1=(a1*a1+b1*b1)/2;
27 double a2=c.x-a.x, b2=c.y-a.y, c2=(a2*a2+b2*b2)/2;
28 double d=a1*b2-a2*b1;
29 struct node tmp;
30 tmp.x = a.x + (c1*b2-c2*b1)/d ;
31 tmp.y = a.y+(a1*c2-a2*c1)/d;
32 return tmp;
33 }
34
35 void min_cover_circle(){
36 random_shuffle(p,p+n);
37 central = p[0];
38 int i,j,k;
39 R=0;
40 for(i=1;i<n;i++){
41 if(dist(central,p[i])+eps>R){
42 central = p[i];
43 R=0;
44 for(j=0;j<i;j++){
45 if(dist(central,p[j])+eps>R){
46 central.x=(p[i].x+p[j].x)/2;
47 central.y=(p[i].y+p[j].y)/2;
48 R=dist(central,p[j]);
49 for(k=0;k<j;k++){
50 if(dist(central,p[k])+eps>R){
51 central=circumcenter(p[i],p[j],p[k]);
52 R=dist(central,p[k]);
53 }
54 }
55 }
56 }
57 }
58 }
59 }
60
61
62 int main(){
63 double x,y;
64 while(scanf("%lf%lf%d",&x,&y,&n)!=EOF){
65 int i;
66 for(i=0;i<n;i++){
67 scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
68 }
69 min_cover_circle();
70 printf("(%.1lf,%.1lf).\n%.1lf\n",central.x,central.y,R);
71 }
72 return 0;
73 }
模拟退火算法
1 /*
2 参考：http://blog.sina.com.cn/s/blog_64675f540100sehz.html
3 题意：给定n个点，找到一个点，使得n个点到这个点的和值最小
4 模拟退火法
5 模拟退火的过程
6 1 找到这些点所在的范围，用两个点框定（代码中e1，e2两个点)
7 2 在这个范围内生成NUM个点（NUM自定）
8 3 对于每个生成的点i，在其周围生成NUM个点，一旦有点优于i，则替换。
9 4 缩小范围D，若D<精度，退出，否则执行 3
10 5 遍历所有NUM个点，找到val的最大值
11 */
12 #include <iostream>
13 #include <cstdio>
14 #include <cstdlib>
15 #include <cmath>
16 #include <cstring>
17 #include <string>
18 #include <algorithm>
19 #include <set>
20 #include<map>
21 #include<ctime>
22 using namespace std;
23 const int NUM=30;
24 const int RAD=1000;
25 struct point
26 {
27 double x,y,val;
28 point(){}
29 point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}
30 }p[1001],May[NUM],e1,e2;
31 int n;
32 double dis(point a,point b)
33 {
34 return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
35 }
36 double judge(point t)//评价函数，得到点t的评价值val
37 {
38 double len=0;
39 for(int i=0;i<n;i++)
40 len=max(len,dis(t,p[i]));
41 return len;
42 }
43 double Rand(){return rand()%(RAD+1)/(1.0*RAD);}//随机产生0-1的浮点数
44 point Rand_point(point a,point b)//在a,b框定的四边形内随机生成点
45 {
46 point tmp=point(a.x+(b.x-a.x)*Rand(),a.y+(b.y-a.y)*Rand());
47 tmp.val=judge(tmp);
48 return tmp;
49 }
50 void solve(double D)
51 {
52 for(int i=0;i<NUM;i++)
53 May[i]=Rand_point(e1,e2);//步骤2
54 while(D>0.01)//步骤 3
55 {
56 for(int i=0;i<NUM;i++)
57 for(int j=0;j<NUM;j++)
58 {
59 point tmp=Rand_point(point(May[i].x-D,May[i].y-D),point(May[i].x+D,May[i].y+D));
60 if(tmp.val<May[i].val)
61 {
62 May[i]=tmp;
63 }
64 }
65 D*=0.5;
66 }
67 point ans;
68 ans.val=1LL<<45;
69 for(int i=0;i<NUM;i++)
70 if(May[i].val<ans.val)
71 ans=May[i];
72 printf("(%.1f,%.1f).\n",ans.x,ans.y);
73 printf("%0.1f\n",ans.val);
74 }
75 int main()
76 {
77 srand(time(0));
78 e2=point(0,0);
79 while(scanf("%lf%lf%d",&e1.x,&e2.y,&n)!=EOF)
80 {
81 for(int i=0;i<n;i++)
82 {
83 scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
84 e1.x=min(e1.x,p[i].x);//框定初始范围
85 e1.y=min(e1.y,p[i].y);
86 e2.x=max(e2.x,p[i].x);
87 e2.y=max(e2.y,p[i].y);
88 }
89 solve(max(e2.y-e1.y,e2.x-e1.x));
90 }
91 }
2.最小矩形包围所有点（矩形的边平行于坐标轴）
1 #include <stdio.h>
2 #define ARRAY_SIZE 100
3 struct Point {
4 int x;
5 int y;
6 };
7 struct Point p[ARRAY_SIZE];
8 int main(void) {
9 int i, n;
10 int min_x, max_x, min_y, max_y;
11 scanf("%d", &n);
12 for(i = 0; i < n; ++i)
13 scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
14 min_x = max_x = p[0].x;
15 min_y = max_y = p[0].y;
16 for(i = 1; i < n; ++i) {
17 if(min_x > p[i].x)
18 min_x = p[i].x;
19 if(max_x < p[i].x)
20 max_x = p[i].x;
21 if(min_y > p[i].y)
22 min_y = p[i].y;
23 if(max_y < p[i].y)
24 max_y = p[i].y;
25 }
26 printf("%d %d %d %d\n", min_x, min_y, max_x, max_y);
27 return 0;
28 }
3.最小矩形包围所有点（矩形的边可以不平行于坐标轴）例题：2017_SWERC_K
1 //最小矩形包围点
2 #include <bits/stdc++.h>
3 typedef long long ll;
4 using namespace std;
5 //平面点的结构体模板
6 struct Point{
7 double x,y;
8 Point(){}
9 Point(double _x,double _y){ x=_x; y=_y; }
10 Point operator + (Point p){ return Point(x+p.x,y+p.y); }
11 Point operator - (Point p){ return Point(x-p.x,y-p.y); }
12 Point operator * (double d){ return Point(d*x,d*y); }
13 double dot(Point p){ return x*p.x+y*p.y; } //内积
14 //外积，外积等于0则两点连线过原点或矢量平行，>0则连线斜率>45°，<0则连线斜率<45°
15 double det(Point p){ return x*p.y-p.x*y; }
16 }ps[200010];
17 //加上操作变成凸包模板
18 int n;
19 bool cmpxy(const Point &p,const Point &q){ //排序
20 if(p.x!=q.x) return p.x<q.x;
21 return p.y<q.y;
22 }
23 vector<Point> convex_hull(Point *ps,int n){
24 sort(ps,ps+n,cmpxy);
25 int k=0;
26 vector<Point> qs(n*2); //构造中的凸包
27 for(int i=0;i<n;++i){ //构造凸包的下侧
28 //相邻边的叉积大于0
29 while(k>1 && (qs[k-1]-qs[k-2]).det(ps[i]-qs[k-1])<=0)--k;
30 qs[k++]=ps[i];
31 }
32 for(int i=n-2,t=k;i>=0;--i){ //构造凸包的上侧
33 //相邻边的叉积小于0
34 while(k>t && (qs[k-1]-qs[k-2]).det(ps[i]-qs[k-1])<=0)--k;
35 qs[k++]=ps[i];
36 }
37 qs.resize(k-1); //去掉重复的左下角点
38 return qs;
39 }
40 double dist(Point p,Point q){ //两点距离平方
41 return (p-q).dot(p-q);
42 }
43 int main()
44 {
45 int n,r;
46 while(~scanf("%d%d",&n,&r)&&n)
47 {
48 for(int i=0;i<n;i++)
49 {
50 scanf("%lf%lf",&ps[i].x,&ps[i].y);
51 }
52 vector<Point> qs=convex_hull(ps,n);
53 int p=1;
54 double len;
55 int sz=qs.size();
56 if(sz==2)
57 {
58 printf("0.000000000\n");
59 continue;
60 }
61 double minofmaxh=2.0*r;
62 qs[sz]=qs[0];
63 for(int i=0;i<sz;i++)
64 {
65 len=sqrt(dist(qs[i],qs[i+1]));
66 while(true)
67 {
68 double h=fabs((qs[i]-qs[i+1]).det(qs[p]-qs[i+1]))/len;
69 if(p<sz-1)
70 {
71 double h1=fabs((qs[i]-qs[i+1]).det(qs[p+1]-qs[i+1]))/len;
72 if(h1>=h)
73 {
74 p++;
75 }
76 else
77 {
78 minofmaxh=min(minofmaxh,h);
79 break;
80 }
81 }
82 else
83 {
84 double h1=fabs((qs[i]-qs[i+1]).det(qs[0]-qs[i+1]))/len;
85 if(h1>=h)
86 {
87 p=0;
88 }
89 else
90 {
91 minofmaxh=min(minofmaxh,h);
92 break;
93 }
94 }
95 }
96 }
97 printf("%.10lf\n",minofmaxh);
98 }
99 return 0;
100 }
4.
原文地址：https://www.cnblogs.com/Fantastic-Code/p/9611009.html
时间： 2024-10-14 20:41:56